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Contenido principal

Sumas de Riemann derecha e izquierda

Las áreas bajp una curva pueden estimarse con rectángulos. Tales estimaciones se llaman sumas de Riemann.
Supón que queremos encontrar el área bajo esta curva:
Se grafica una función. El eje x no está numerado. La gráfica es una curva. La curva empieza en el eje y positivo, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba y termina en el cuadrante 1. Un área está sombreada entre la curva y los ejes.
Tal vez luchemos para encontrar el área exacta, pero podemos aproximarla usando rectángulos:
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 4 rectángulos con el mismo ancho. Cada rectángulo se mueve hacia arriba desde el eje x y toca la curva en la esquina superior izquierda.
Y nuestra aproximación mejora si usamos más rectángulos:
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 8 rectángulos con el mismo ancho.
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 16 rectángulos con el mismo ancho.
Este tipo de aproximaciones se llaman sumas de Riemann, y son una herramienta fundacional del cálculo. Nuestro objetivo, por ahora, es enfocarnos en comprender dos tipos de sumas de Riemann: sumas de Riemann izquierdas y sumas de Riemann derechas.

Sumas de Riemann izquierda y derecha

Para construir una suma de Riemann, debemos escoger cómo vamos a hacer nuestros rectángulos. Una posible solución es hacer nuestros rectángulos tales que toquen la curva con sus esquinas superiores izquierdas. A esta suma la llamamos suma de Riemann izquierda.
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 4 rectángulos con el mismo ancho. Cada rectángulo se mueve hacia arriba desde el eje x y toca la curva en la esquina superior izquierda. Por lo tanto, cada rectángulo está por abajo de la curva.
Otra elección es hacer que nuestros rectángulos toquen la curva con sus esquinas superiores derechas. A esta suma la llamamos suma de Riemann derecha.
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 4 rectángulos con el mismo ancho. Cada rectángulo se mueve hacia arriba desde el eje x y toca la curva en la esquina superior derecha. Por lo tanto, cada rectángulo se mueve hacia arriba por encima de la curva.
Ninguna elección es estrictamente mejor que la otra.
Problema 1
¿Qué clase de suma de Riemann describe el diagrama?
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Subdivisiones, o particiones, de las sumas de Riemann

Los términos "subdivisiones" o "particiones" son comúnmente mencionados cuando se trabaja con sumas de Riemann. Estos se refieren al número de partes en las que dividimos el intervalo en x para construir los rectángulos. Dicho de forma sencilla, el número de subdivisiones (o particiones) es el número de rectángulos que usamos.
Las subdivisiones pueden ser uniformes, lo que significa que tienen iguales longitudes, o no uniformes.
Subdivisiones uniformesSubdivisiones no uniformes
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 3 rectángulos con el mismo ancho. Cada rectángulo se mueve hacia arriba desde el eje x y toca la curva en la esquina superior izquierda.
El área sombreada por abajo de la curva está dividida en 3 rectángulos con distinto ancho. Cada rectángulo se mueve hacia arriba desde el eje x y toca la curva en la esquina superior izquierda.
Problema 2
¿Cuál es la descripción correcta de las subdivisiones en esta suma de Riemann?
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Problemas de sumas de Riemann con gráficas

Imagina que se nos pide aproximar el área entre y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis y el eje x de x, equals, 2 a x, equals, 6.
Se grafica la función g. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una curva suave. La curva empieza en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba hasta un máximo local en aproximadamente (3, 7), se mueve hacia abajo hasta un mínimo local en aproximadamente (4.4, 3.5), se mueve hacia arriba y termina en el cuadrante 1. Una región está sombreada entre la curva y el eje x, entre x = 2 y x = 6.
Y que decidimos usar una suma de Riemann izquierda con cuatro subdivisiones uniformes.
En la gráfica de la función g, la región sombreada está dividida en 4 rectángulos, cada uno de ancho 1. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior izquierda. Las esquinas están en (2, 3), (3, 7), (4, 6) y (5, 4).
Observa: cada rectángulo toca la curva con su esquina superior izquierda porque estamos usando una suma de Riemann izquierda.
Al sumar las áreas de los rectángulos, obtenemos 20 unidadessquared, que es una aproximación para el área bajo la curva.
Problema 3
Aproxima el área entre y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis y el eje x de x, equals, minus, 2 a x, equals, 4 usando una suma de Riemann derecha contres subdivisiones iguales.
La gráfica de la función h pasa por el punto menos 2, 0; el punto 0, 4; el punto 2, 6; y el punto 4, 4.
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Ahora hagamos algunas aproximaciones sin la ayuda de gráficas

Imagina que se nos pide aproximar el área entre el eje x y la gráfica de f desde x, equals, 1 a x, equals, 10 usando una suma de Riemann derecha con tres subdivisiones iguales. Para lograrlo, nos dan una tabla de valores de f.
x14710
f, left parenthesis, x, right parenthesis6835
Un buen primer paso es determinar la longitud de cada subdivisión. La longitud del área entera que estamos aproximando es 10, minus, 1, equals, 9 unidades. Si estamos utilizando tres subdivisiones iguales, entonces la base de cada rectángulo mide 9, divided by, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd unidades.
De aquí, necesitamos determinar la altura de cada rectángulo. Nuestro primer rectángulo descansa en el intervalo open bracket, 1, comma, 4, close bracket. Como estamos usando una suma de Riemann derecha, su vértice superior derecho debe estar sobre la curva cuando x, equals, 4, por lo que su valor y es f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
De forma similar, podemos encontrar que el vértice superior derecho del segundo rectángulo, que descansa en el intervalo open bracket, 4, comma, 7, close bracket, está en f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Nuestro tercer (y último) rectángulo tiene su vértice superior derecho en f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
Ahora todo lo que resta es hacer las cuentas.
Primer rectánguloSegundo rectánguloTercer rectángulo
Basestart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accd
Alturastart color #e07d10, 8, end color #e07d10start color #7854ab, 3, end color #7854abstart color #ca337c, 5, end color #ca337c
Áreastart color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15
Entonces, después de haber encontrado las áreas individuales, las sumamos para obtener nuestra aproximación: 48 unidadessquared.
Problema 4
Aproxima el área entre el eje x y y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis desde x, equals, 10 hasta x, equals, 16 usando una suma de Riemann izquierda con tres subdivisiones iguales.
x10121416
g, left parenthesis, x, right parenthesis5177
El área aproximada es
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidadessquared.

Ahora imagina que se nos pide aproximar el área entre el eje x y la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript de x, equals, minus, 3 a x, equals, 3 usando una suma de Riemann derecha con tres subdivisiones iguales.
El intervalo completo open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket mide 6 unidades, por lo que cada uno de los tres rectángulos debe tener 6, divided by, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd unidades de ancho.
El primer rectángulo descansa en open bracket, minus, 3, comma, minus, 1, close bracket, por lo que su altura es f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, point, 5, end color #e07d10. Similarmente, la altura del segundo rectángulo es f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab y la del tercero es f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
Primer rectánguloSegundo rectánguloTercer rectángulo
Basestart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accd
Alturastart color #e07d10, 0, point, 5, end color #e07d10start color #7854ab, 2, end color #7854abstart color #ca337c, 8, end color #ca337c
Áreastart color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, point, 5, end color #e07d10, equals, 1start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16
Así, nuestra aproximación es de 21 unidadessquared.
Problema 5
Aproxima el área entre el eje x y h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, x, end fraction de x, equals, 0 a x, equals, 1, point, 5 usando una suma de Riemann derecha con 3 subdivisiones iguales.
El área aproximada es
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidadessquared.

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Las sumas de Riemann unas veces sobrestiman y otras veces subestiman

La sumas de Riemann son aproximaciones del área bajo una curva, por lo que casi siempre serán un poco más grandes que el área real (una sobrestimación) o un poco más pequeñas que el área real (una subestimación).
Problema 6
¿Esta suma de Riemann es una sobrestimación o subestimación del área real?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Problema 7
Considera las sumas de Riemann derecha e izquierda que aproximan el área bajo y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis entre x, equals, 2 y x, equals, 8.
¿Las aproximaciones son sobrestimaciones o subestimaciones? Llena los espacios.
La suma de Riemann izquierda estaría completamente
de la curva, por lo que sería una
.
La suma de Riemann derecha estaría completamente
de la curva, por lo que sería una
.

Problema 8
La función continua g se grafica a continuación.
Nos interesa el área bajo la curva entre x, equals, minus, 7 y x, equals, 7, y estamos considerando usar sumas de Riemann para aproximarla.
Ordena las áreas de menor (arriba) a mayor (abajo).

Problema 9
Esta tabla contiene algunos valores de la función continua y creciente g.
xminus, 2381318
g, left parenthesis, x, right parenthesis1319283141
Nos interesa el área bajo la curva entre x, equals, minus, 2 y x, equals, 18, y estamos considerando usar sumas de Riemann izquierda y derecha, cada una con cuatro subdivisiones iguales, para aproximarla.
Ordena las áreas de menor (arriba) a mayor (abajo).

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Observa: que una suma de Riemann sea una sobrestimación o una subestimación depende de si la función es creciente o decreciente en el intervalo y de si la suma de Riemann es derecha o izquierda.

Claves para recordar

Aproximar el área bajo una curva con rectángulos

La primera cosa en la que debes pensar cuando escuchas las palabras "suma de Riemann" es que estás usando rectángulos para estimar el área bajo una curva. En tu mente, debes imaginar algo así:
Se grafica una función. El eje x no está numerado. La gráfica es una curva. La curva empieza en el eje y positivo, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba y termina en el cuadrante 1. Un área está sombreada entre la curva y los ejes en el cuadrante 1. El área sombreada está dividida en 4 rectángulos con el mismo ancho que tocan la curva en las esquinas superiores izquierdas.

Mejor aproximación con más subdivisiones

En general, mientras más subdivisiones (es decir, rectángulos) usemos para aproximar el área, mejor será la aproximación.
En la gráfica de la función, la región bajo la curva está dividida en 6 rectángulos con el mismo ancho, tocando la curva en las esquinas superiores izquierdas.

Sumas de Riemann izquierdas vs. sumas de Riemann derechas

Trata de no mezclarlas. Una suma de Riemann izquierda usa rectángulos cuyos vértices superiores izquierdos están sobre la curva. Una suma de Riemann derecha usa rectángulos cuyos vértices superiores derechos están sobre la curva.
Suma de Riemann izquierdaSuma de Riemann derecha
En la gráfica de la función, la región bajo la curva está dividida en 4 rectángulos con el mismo ancho, tocando la curva en las esquina superiores izquierdas.
En la gráfica de la función, la región bajo la curva está dividida en 4 rectángulos con el mismo ancho, tocando la curva en las esquinas superiores derechas.

Sobrestimación y subestimación

Cuando usamos sumas de Riemann, a veces obtenemos una sobrestimación y otras veces una subestimación. Es bueno ser capaces de razonar sobre si una suma de Riemann particular está sobrestimando o subestimando.
En general, si la función siempre es creciente o siempre es decreciente en un intervalo, podemos decir si la aproximación por suma de Riemann será una sobrestimación o una subestimación con base en si es una suma de Riemann derecha o izquierda.
DirecciónSuma de Riemann izquierdaSuma de Riemann derecha
CrecienteSubestimaciónSobrestimación
DecrecienteSobrestimaciónSubestimación

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