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Sumas de Riemann en notación sigma

La notación de suma puede usarse para escribir sumas de Riemann de forma compacta. Este es un paso difícil pero importante hacia una definición formal de la integral definida.
La notación de suma (o notación sigma) nos permite escribir una suma con muchos términos en una sola expresión. Mientras que la notación de suma tiene muchos usos en las matemáticas (y especialmente en el cálculo), queremos enfocarnos en cómo podemos usarla para escribir sumas de Riemann.

Ejemplo de escritura de una suma de Riemann en notación de suma

Imagina que estamos aproximando el área bajo la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root entre x, equals, 0, point, 5 y x, equals, 3, point, 5.
Se grafica la función y = la raíz cuadrada de x. El eje x va de 0 a 4. La gráfica es una curva. La curva empieza en (0, 0), se mueve hacia arriba con concavidad hacia abajo y termina en (4, 2). La región entre la curva y el eje x, entre x = 0.5 y x = 3.5, está sombreada.
Y digamos que decidimos hacerlo escribiendo la expresión para una suma de Riemann derecha con cuatro subdivisiones iguales, usando notación de suma.
En la gráfica de la función y, la región sombreada está dividida en 4 rectángulos de ancho 0.75. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior derecha.
Sea A, left parenthesis, i, right parenthesis el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo en nuestra aproximación.
El área de los rectángulos es A de 1, A de 2, A de 3 y A de 4.
La suma de Riemann completa puede escribirse de la siguiente manera:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
Lo que necesitamos hacer ahora es encontrar una expresión para A, left parenthesis, i, right parenthesis.
La longitud del intervalo open bracket, 0, point, 5, comma, 3, point, 5, close bracket es 3 unidades y queremos 4 subdivisiones iguales, por lo que la start color #1fab54, start text, b, a, s, e, end text, end color #1fab54 de cada rectángulo mide 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 unidades.
La start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es el valor de f en el extremo derecho del rectángulo (porque es una suma de Riemann derecha).
Sea start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd el extremo derecho del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo. Para encontrar x, start subscript, i, end subscript para cualquier valor de i, comenzamos en x, equals, 0, point, 5 (el extremo izquierdo del intervalo) y sumamos repetidamente la longitud común start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54.
El lado izquierdo del primer rectángulo está en x = 0.5. Suma 0.75 4 veces para obtener los lados de los rectángulos, desde x sub 1 hasta x sub 4.
Por lo tanto, la fórmula de start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd es start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd. Ahora, la start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es el valor de f en su extremo derecho:
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
Y así hemos llegado a una expresión general para el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo:
A(i)=basealtura=0.750.5+0.75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{base}}\cdot\goldD{\text{altura}} \\\\ &=\greenD{0.75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0.5+0.75i}}} \end{aligned}
Ahora todo lo que tenemos que hacer es sumar esta expresión para valores de i de 1 a 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=i=14A(i)=i=140.750.5+0.75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0.75\cdot\sqrt{0.5+0.75i} \end{aligned}
¡Y terminamos!

Resumen del proceso para escribir una suma de Riemann en notación de suma

Imagina que queremos aproximar el área bajo la gráfica de f en el intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket con n subdivisiones iguales.
Define delta, x: sea start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 la longitud de la start color #1fab54, start text, b, a, s, e, end text, end color #1fab54 de cada rectángulo. Entonces, start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Define x, start subscript, i, end subscript: sea start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd el extremo derecho de cada rectángulo. Entonces, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Define el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo: entonces, la start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, y el área de cada rectángulo es start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Suma los rectángulos: ahora usamos la notación de suma para sumar todas las áreas. Los valores que usamos para i son diferentes para las sumas de Riemann izquierda y derecha:
  • Cuando escribimos una suma de Riemann derecha, tomamos valores de i de 1 a n.
  • Sin embargo, cuando escribimos una suma de Riemann izquierda, tomamos valores de i de 0 a n, minus, 1 (estos nos darán el valor de f en el extremo izquierdo de cada rectángulo).
Suma de Riemann izquierdaSuma de Riemann derecha
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará por el proceso de aproximar el área entre f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, point, 1, x, squared, plus, 1 y el eje x en el intervalo open bracket, 2, comma, 7, close bracket por medio de una suma de Riemann izquierda con 10 subdivisiones iguales.
Se grafica la función f. El eje x va de menos 1 a 9. La gráfica es una curva. La curva empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo hasta un mínimo local en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina en el cuadrante 1. La región entre la curva y el eje x, entre x = 2 y x = 7, está sombreada.
¿Cuál es la longitud de cada rectángulo, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54?
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Queremos aproximar el área entre g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 y el eje x en el intervalo open bracket, 1, comma, 7, close bracket por medio de una suma de Riemann derecha con 9 subdivisiones iguales:
Se grafica la función g. El eje x va de menos 1 a 7. La gráfica es una curva. La curva empieza en el cuadrante 1, se mueve hacia abajo con concavidad hacia arriba y termina en el cuadrante 1. La región entre la curva y el eje x, entre x = 1 y x = 7, está sombreada. La región sombreada está dividida en 9 rectángulos con el mismo ancho. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior derecha.
¿Cuál expresión representa nuestra aproximación?
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