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Comprender la regla del trapecio

Estudia paso a paso un ejemplo de la regla del trapecio; después, intenta un par de problemas de práctica.
A estas alturas ya sabes que podemos usar sumas de Riemann para aproximar el área bajo la gráfica de una función. Las sumas de Riemann utilizan rectángulos, y a veces resultan en aproximaciones medio malas. Pero ¿qué tal si, en vez de rectángulos, usamos trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de una función?
Idea clave: al usar trapecios (es decir, "la regla del trapecio"), podemos obtener aproximaciones más precisas que al utilizar rectángulos (es decir, "sumas de Riemann").

Un ejemplo de la regla del trapecio

Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en el intervalo open bracket, 2, comma, 8, close bracket.
Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio T, start subscript, 1, end subscript, al segundo T, start subscript, 2, end subscript y al tercero T, start subscript, 3, end subscript:
Recuerda que el área de un trapecio está dada por h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, donde h es la altura y b, start subscript, 1, end subscript y b, start subscript, 2, end subscript son las longitudes de las bases.

Encontrar el área de T, start subscript, 1, end subscript

Debemos pensar que el trapecio está de costado.
La altura h es el 2 en la parte baja de T, start subscript, 1, end subscript que genera el intervalo comprendido entre x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 y x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c.
La primera base, b, start subscript, 1, end subscript, es el valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, es decir, 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.
La segunda base, b, start subscript, 2, end subscript, es el valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, es decir, 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.
Así es como se ve todo esto:
Pongamos todo esto junto para encontrar el área de T, start subscript, 1, end subscript:
T, start subscript, 1, end subscript, equals, h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
T, start subscript, 1, end subscript, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis, plus, 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
Simplifica:
T, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis, right parenthesis

Encontrar el área de T, start subscript, 2, end subscript

Encontramos la altura y ambas bases:
h, equals, 2
b, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis
b, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis
Sustituye y simplifica:
T, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis, right parenthesis

Encuentra el área de T, start subscript, 3, end subscript

T, start subscript, 3, end subscript, equals
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Encontrar el área total de la aproximación

Encontramos el área total de la aproximación al sumar el área de cada uno de los trapecios:
start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, t, o, t, a, l, end text, equals, T, start subscript, 1, end subscript, plus, T, start subscript, 2, end subscript, plus, T, start subscript, 3, end subscript
Esta es la respuesta final, ya simplificada:
start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, t, o, t, a, l, end text, equals, 3, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 4, plus, 2, natural log, 6, plus, natural log, 8, right parenthesis
Lo mejor en en este punto es que hagas una pausa y hagas tú mismo las cuentas ¡para que te asegures de que has entendido cómo obtuvimos el resultado!

Problema de práctica

Escoge la expresión que utiliza cuatro trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en el intervalo open bracket, 2, comma, 8, close bracket.
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Problema de desafío

Escoge la expresión que utiliza tres trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f en el intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket.
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