Sumas de punto medio

lo que queremos hacer en este vídeo es ver cómo podemos aproximar el valor del área bajo la curva y para ayudarnos con un ejemplo usaremos la función e igual a equis cuadrada más 1 pensemos en el área bajo esta curva por arriba del eje x que va desde x igual a menos 1 x igual a 2 que es esta área de aquí hay varias formas en las que podemos resolver esto lo que voy a hacer es descomponer este intervalo en tres secciones iguales que en realidad serán las bases de rectángulos veremos diferentes formas de encontrar las alturas de dichos rectángulos vamos a aproximar el área usando tres rectángulos con la misma base y veremos diferentes formas de definir las alturas de dichos rectángulos primero vamos a definir la altura de cada rectángulo usando el valor de la función en el punto medio de la base lo vemos aquí vamos a asegurarnos de que esto tiene sentido para nosotros vemos que dividimos el intervalo que va de x igual a menos 1 a x igualados en tres partes iguales cada una tiene una base igual a 1 si quisiéramos tener una mejor aproximación deberíamos tener más es más rectángulos veamos cómo podemos calcular esto la base de cada rectángulo es igual a 1 la altura la tomamos del valor de la función en el punto medio de la base el punto medio de aquí es menos un medio el punto medio de aquí es un medio y el punto medio de acá es tres medios esta primera altura va a ser menos un medio al cuadrado más uno menos un medio al cuadrado es un cuarto más uno es cinco cuartos esta altura es cinco cuartos y el área del primer rectángulo es cinco cuartos por uno lo que nos da cinco cuartos lo escribimos si usamos el punto medio para encontrar la altura de cada rectángulo el área del primer rectángulo tiene un área de cinco cuartos lo resaltamos usamos la misma idea para el segundo rectángulo un medio al cuadrado es un cuarto más un entero es cinco cuartos los sumamos más cinco cuartos y cuál es la altura del tercer rectángulo tomamos el valor de la función en el punto medio que es tres medios tres medios al cuadrado nos da nueve cuartos más uno nos da trece cuartos así que su altura es trece cuartos y su base es uno el área será de trece cuartos los sumamos la suma de todo esto da veintitrés cuartos que es lo mismo que cinco enteros y tres cuartos esto se conoce como la regla del punto medio pues usamos el punto medio de cada intervalo para calcular la altura de nuestro rectángulo pero esta no es la única forma de hacerlo podemos usar el punto a la derecha o el punto a la izquierda de cada intervalo esto lo haremos con más detalle en futuros vídeos pero para que se den una idea de cómo funciona hagamos un ejemplo rápido aquí si nos interesan los puntos a la izquierda de nuestro intervalo en este caso el punto izquierda es menos uno menos uno al cuadrado es uno más uno es dos la altura es 2 y al multiplicar la por la base que es 1 nos queda un área de 2 en este otro intervalo el punto a la izquierda es 0 0 al cuadrado es 0 más 1 es 1 que multiplicamos por 1 y nos da 1 y en el tercer intervalo el punto a la izquierda es 11 al cuadrado es uno más uno es 2 y 2 x 1 nos da 2 así que cuando usamos los puntos a la izquierda del intervalo la suma nos queda dos más uno más dos que es igual a cinco y también podemos usar los puntos a la derecha del intervalo el primer rectángulo vemos que aproxima por debajo el área bajo la curva de este intervalo su punto a la derecha es 0 0 al cuadrado es 0 más uno es igual a 1 este primer rectángulo tiene una altura igual a 1 y una base igual a 1 por lo que su área es igual a 1 el segundo rectángulo tiene su punto a la derecha en 1 1 al cuadrado es uno más uno es 2 x la base que es 1 nos da 2 y en el último rectángulo el punto a la derecha es 2 2 al cuadrado es 4 más 15 x la base de 1 nos da 5 cuando usamos los puntos a la derecha del intervalo la suma nos queda 12 más 5 que es igual a 8 y con solo ver esto nos damos cuenta de que estamos calculando el área muy por arriba del área bajo la curva real así que esta es una aproximación por arriba del valor real lo importante aquí es darnos cuenta de las diferentes formas en las que podemos calcular el área aproximada usando rectángulos y pueden imaginarse que si usamos más rectángulos con bases cada vez más delgadas que cubren el intervalo desde x igual a menos 1 a x igualados obtendremos mejores aproximaciones al área real bajo la curva que nos interesa con esto terminamos