If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:6:53

Transcripción del video

tenemos que fx es igual al valor absoluto de x + 2 y queremos evaluar la integral definida desde menos 4 hasta 0 de fx de x y como siempre pausa en el vídeo y vea si pueden resolver esto ahora cuando hagan esto por primera vez podrían tropezar un poco ya que como sacamos un anti derivada de una función con valor absoluto y la clave aquí es volver a escribir efe de x sin el valor absoluto y podemos hacer eso reescribiendo a efe como una función por partes y la manera en la que voy a hacer esto es pensar en el intervalo donde lo que sea que tomemos dentro del valor absoluto sea positivo y en el intervalo donde todo lo que tomemos dentro del valor absoluto sea negativo y el punto en el cual cambiamos de ser positivos a negativos es donde x + 2 es igual a cero o dicho otra manera donde x es igual a menos 2 entonces pensemos en los intervalos donde x sea menor que menos 2 y donde x sea mayor o igual a menos 2 esto podría haber sido menor que igual en cuyo caso este trabajo d habría sido mayor que pero de cualquier manera habría sido igual a este valor absoluto ya que es una función continua bien empecemos por el caso fácil el caso fácil es pensar que es lo que pasa cuando x es mayor o igual a menos 2 entonces observa que x + 2 va a ser positivo o más bien va a ser mayor o igual a 0 y entonces el valor absoluto de eso va a ser ese mismo valor es decir x + 2 por lo tanto será x + 2 cuando x sea mayor o igual a menos 2 y que en el otro caso cuando x es menor que menos 2 bien cuando x es menor que menos 2 x más 2 va a ser negativo y luego si sacan el valor absoluto de un número negativo van a sacar lo opuesto entonces va a ser menos x más 2 en paréntesis y para realmente entender esto porque sinceramente es la parte más difícil de todo el ejercicio de todo lo que estamos haciendo de hecho en realidad esto es más álgebra que cálculo permítanme dibujar la función de valor absoluto para hacerlo más claro entonces por aquí va a estar mi eje x y este de por acá va a ser mi eje y digamos que aquí están x igual a menos 2 y cuando estamos menor que menos dos cuando x es menor que menos 2 y gráfica se va a ver así y cuando somos mayores que menos 2 entonces en otro color voy a poner que la gráfica se va a ver así observa la gráfica de color azul es la gráfica de x + 2 podemos decir que es la gráfica de ye igual a x + 2 y esta otra gráfica de aquí de color magenta es la gráfica de menos x menos 2 y observa tiene pendiente negativa e ínter secamos al eje y en menos 2 y tiene bastante sentido con lo que tenemos ahora una vez que separamos esto podemos también separar la integral podemos decir que lo que escribimos aquí va a ser igual a amd y bueno tomemos esta integral y vamos a separar la primero me voy a tomar la integral de menos 42 de fx que en este caso serán menos x menos observa lo único que hice fue distribuir el signo aquí por de x ya esto le vamos a sumar la integral de menos 2 a 0 de x2 de x y solamente para que lo tengas mucho más claro vamos a ver lo que estamos haciendo aquí sí aquí tenemos al menos cuatro y por acá tenemos al cero esta primera integral va a darnos esta área de aquí que es el área bajo la curva de menos x menos 2 bajo la curva o más bien bajo esta recta y sobre el eje x y la segunda integral nos va a dar esta otra área de aquí entre x más 2 y el eje x claro de menos 2 a 0 así que vamos a evaluar cada uno de estos de hecho inclusive podrían evaluarlo un poco con área de triángulos pero vamos a hacerlo analíticamente o algebraica mente para ver qué es lo que está sucediendo ok pensemos cuál es la anti derivada de menos x bueno esto es muy fácil eso es menos equis cuadrada entre 2 y después tenemos este menos 2 el cual es la derivada de menos 2x y vamos a evaluar esto en menos 2 en -4 ok vamos a hacerle una vez esta parte va a ser me queda menos 2 elevado al cuadrado entre 2 que es menos 4 medios ya esto le vamos a quitar 2 x menos 2 lo cual es 4 positivo entonces esta es la evaluación en menos 2 y ahora vamos a evaluarlo en menos 4 que me quedarían me queda menos 4 elevado al cuadrado bueno hechos menos 16 menos 16 entre dos menos 2 x menos 4 y eso es 8 positivo más 8 entonces que va a darnos esto bajemos un poco la pantalla para seguir con este ejercicio y me queda que este de aquí va a ser menos 2 y este de aquí es menos 8 de hecho observa el segundo término va a ser igual a 0 lo hice bien 4 al cuadrado 16 aquí tengo el signo negativo entre 28 y luego tengo si más 8 entonces este segundo término va a ser cero perfecto y que me va a quedar en este 1er bueno tengo menos dos más cuatro lo cual va a ser igual a dos entonces lo que tenemos aquí en magenta todo esto va a ser igual a 2 y ahora vamos a pensar en lo que tenemos acá en azul veamos la anti derivada de x es x cuadrada entre 2 más y bueno aquí tengo más 2x y lo vamos a evaluar en 0 y en menos 2 primero vamos a evaluarlo en cero bueno observa si lo evaluamos en cero sólo va a ser cero así que a eso le vamos a restar la evaluación en menos dos y me quedaría menos 2 esto elevado al cuadrado entre 2 pero eso es 4 medios que al final es 2 positivos y luego tengo 2 x menos 2 entonces eso es menos 4 entonces todo esto es menos 2 y aquí tengo un signo negativo entonces sería menos menos 2 o simplemente 2 positivo entonces todo esto se reduce a la suma de 2 más 2 y tiene sentido tenemos aquí observan es 2 y toda esta área que tenemos acá también es 2 porque hay una simetría aquí y si los sumamos vamos a tener que nuestra integral va a ser igual a 4 y estoy seguro que con una visión realista y un poco geométrica me puedes decir mira la altura de aquí es 2 la base es 2 2 x 2 entre 2 es igual a 2 y lo mismo aquí porque otra vez tenemos el argumento de esta simetría geométrica y por lo tanto estas dos áreas son 2 la sumamos y tenemos 4