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La integral definida de una función definida por partes

Transcripción del video

tenemos a fx justo aquí y está definida en partes para bueno para x menor que cero fx es igual a x1 y para x mayores o iguales que cero fx es igual al coseno de px y queremos evaluar la integral de menos uno a uno de fx de x e inmediatamente podría decir bien para cuál de estas versiones de fx voy a sacarla antes derivada pues de menos uno a cero caemos en el caso de x + 1 pero luego de 0 a 1 caemos en el caso del coseno de px y se estaban pensando en eso estaban pensando en la dirección correcta y la manera en la que podemos hacer esto un poco más fácil es en efecto dividir esta integral definida así que esto va a ser igual a la integral definida de menos 1 a 0 de fx de x más la integral definida de 0 a 1 de fx de x ahora porque me fue útil dividir la de esta manera en particular dividir la integral de menos uno a uno en dos intervalos 1 a 0 y de 0 a 1 bien he hecho porque en x igual a 0 es donde cambiamos donde fx cambian de ser x + 1 hacer con seno de px y si ven en el intervalo de menos 1 a 0 fx es x + 1 entonces aquí el fx es x + 1 y luego vamos de 0 a 1 en donde fx es coseno de pies entonces aquí fx es coseno de px entonces ahora solo tenemos que evaluar cada uno de estos por separado y sumarlos juntos así que qué te parece si primero vamos a sacar la integral definida de menos 1 a 0 de x 1 de x bien vamos a ver la anti derivada de x1 es bueno primero saquemos la anti derivada de x que es x cuadrada entre 2 sólo estoy aumentando el exponente en 1 y luego dividiendo por ese mismo valor y luego más x y podrían verlo como si estuvieran haciendo lo mismo si esto es x 0 entonces me quedaría x a la 1 entre 1 que es simplemente x y voy a evaluar esto en 0 y restarle a eso la evaluación en menos 1 así que esto va a ser igual a bueno si lo evalúen 0 me va a quedar déjame ponerlo en otro color mejor el color anaranjado me va a quedar 0 al cuadrado entre 2 +0 bien todo eso va a ser igual a 0 ya eso hay que quitarle la evaluación en menos 1 entonces menos y aquí me quedaría menos 1 elevado al cuadrado esto a su vez dividido entre dos más menos 1 ok menos 1 elevado al cuadrado eso es fácil es uno entonces me quedaría un medio un medio más menos uno eso es lo mismo que menos un medio pero luego observa que estamos restando menos un medio es 0 - menos un medio lo cual va a ser igual a un medio positivo entonces toda esta parte de aquí toda esta parte de aquí va a ser igual a un medio positivo y ahora vamos a evaluar la integral definida desde cero a uno del coseno de px de equis y ya que es igual esto bueno si estamos tratando de encontrar la derivada del coseno de x esto ya lo sabemos es muy fácil porque nosotros sabemos que la derivada con respecto a x del seno de x es el coste no de x pero eso no es lo que tenemos aquí tenemos el coseno de px así que hay una técnica a la que pueden llamar sustitución um y es decir que tienen una nueva variable llamada un y es igual a px si no saben cómo hacerla entonces pueden intentar pensar en en esto me lo siguiente pueden decir qué tal vez haya una forma de involucrar al seno de px pero si nos fijamos en la derivada con respecto a x del seno de px quien sería eso bueno podremos usar la regla de la cadena sería la derivada de la función de afuera con respecto a la función de adentro es decir la derivada del seno de px con respecto a px lo cual sería el coseno de px hasta ahí vamos bien y luego hay que multiplicar por la derivada de la función de adentro con respecto a x entonces sería bueno simplemente pib o pueden decir que la derivada del seno de px es a veces el coseno de px ahora ya casi lo tenemos aquí si observas lo único que necesitamos es un pib y si tenemos que poner por aquí un pin multiplicando y no queremos cambiar el valor de la integral entonces también hay que multiplicar de alguna manera por uno entre pib y es que si multiplicamos y dividimos por el mismo número no estamos cambiando su valor uno entre pi por pi es simplemente 1 y por eso es útil porque ahora ya sabemos qué picos seno de px es la derivada del seno de px entonces todo esto va a ser igual a 1 entre pin por y ahora vamos a evaluar entonces la anti derivada aquí ya sabemos que es seno de px y vamos a evaluar eso en 1 y en 0 entonces esto va a ser igual am me queda uno entre pin que multiplica al seno de pi por uno lo cual es el seno de pib menos el seno de pi por cero lo cual es simplemente cero entonces me quedaría el seno de pib menos el seno de cero ahora el seno de pib es cero y el seno de cero también es cero entonces vamos a tener uno entre pib que multiplica a 0 - 0 así que todo esto va a ser igual a 0 y ya está porque la primera parte era un medio y esta segunda parte de aquí es igual a cero entonces toda esta integral definida va a ser igual a un medio más 0 lo cual es igual a simplemente un medio entonces todo esto es igual a un medio