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La integral definida como el límite de una suma de Riemann

Las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar integrales definidas, y también nos ayudan a definirlas formalmente. Aprende cómo se logra esto y cómo podemos movernos entre la representación del área como integral definida y como suma de Riemann.
Las integrales definidas representan el área bajo la curva de una función, y las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar esas áreas. La pregunta es: ¿hay una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida?

Sumas de Riemann con un número "infinito" de rectángulos

Imagina que queremos encontrar el área bajo la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared entre x, equals, 2 y x, equals, 6.
Se grafica la función f. El eje x va de menos 1 a 8. La gráfica es una curva suave. La curva empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo hasta un mínimo local en (0, 0), se mueve hacia arriba y termina en el cuadrante 1. La región entre la curva y el eje x, entre x = 2 y x = 6, está sombreada.
Usando la notación de integral definida, podemos representar el área exacta como:
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
Podemos aproximar esta área mediante sumas de Riemann. Sea R, left parenthesis, n, right parenthesis la aproximación por suma de Riemann derecha con n subdivisiones (es decir, n rectángulos de ancho igual).
Por ejemplo, la gráfica muestra R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Puedes observar que es una sobrestimación del área real.
En la gráfica de la función f, la región por abajo de la curva está dividida en 4 rectángulos de ancho 1. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior derecha.
El área bajo la curva de f entre x, equals, 2 y x, equals, 6 se aproxima por medio de 4 rectángulos de bases iguales.
Podemos mejorar nuestra aproximación al dividir nuestra área en más rectángulos con bases menores, es decir, al usar R, left parenthesis, n, right parenthesis con valores mayores de n.
Puedes observar cómo la aproximación se acerca más al área real conforme el número de rectángulos va de 1 a 100:
La gráfica de la función f está animada. La región sombreada se divide en más y más rectángulos con el mismo ancho, de 1 a 100. Las áreas se vuelven más pequeñas, desde R de 1 = aproximadamente 28.8 hasta R de 100 = aproximadamente 13.99.
Creado con Geogebra.
Por supuesto, usar aún más rectángulos nos acercará aún más, pero una aproximación siempre es solo una aproximación.
¿Qué tal que pudiéramos considerar una suma de Riemann con un número infinito de subdivisiones iguales? ¿Acaso es eso posible? Bueno, no podemos tomar n, equals, infinity porque el infinito no es un número, pero tal vez recuerdes que tenemos una forma de llevar algo a infinito...
¡Límites!
Específicamente, este límite:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
Hecho increíble #1: este límite realmente nos da el valor exacto de integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x.
Hecho increíble #2: no importa si consideramos el límite de una suma de Riemann derecha, de una suma de Riemann izquierda o de cualquier otra aproximación común. En infinito, siempre obtendremos el valor exacto de la integral definida.
(La prueba rigurosa de estos hechos es demasiado elaborada para cubrir en este artículo, pero esto no es un problema; solo estamos interesados en la intuición detrás de la conexión entre las sumas de Riemann y las integrales definidas).
Hasta ahora hemos usado R, left parenthesis, n, right parenthesis como una abreviación de la aproximación por suma de Riemann derecha con n subdivisiones. Ahora, encontremos la expresión real.
Repaso rápido: buscamos start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, la longitud constante de la start color #1fab54, start text, b, a, s, e, end text, end color #1fab54 de cada rectángulo, y start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, el valor en x del extremo derecho del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo. Entonces, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 nos dará la start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo.
Δx=62n=4nxi=2+Δxi=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
Por lo que el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo es start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10, y sumamos esa expresión para valores de i de 1 a n:
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
Ahora podemos representar el área real como un límite:
=2615x2dx=limnR(n)=limni=1n(2+4in)245n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

Por definición, la integral definida es el límite de la suma de Riemann

El ejemplo anterior es un caso específico de la definición general de una integral definida:
La integral definida de una función continua f en el intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket, denotada por integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, es igual al límite de una suma de Riemann conforme el número de subdivisiones tiende a infinito. Es decir,
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
donde start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction y start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

Si nos piden escribir una suma de Riemann de su integral definida...

Imagina que nos han pedido escribir la siguiente integral definida como el límite de una suma de Riemann.
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Primero, encontremos start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Δx=ban=2ππn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
Ahora que tenemos start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, podemos encontrar start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
xi=a+Δxi=π+πni=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
Por lo tanto,
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

Practica escribir sumas de Riemann a partir de integrales definidas

Problema 1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
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Problema 2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
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Error común: obtener la expresión equivocada para delta, x

Por ejemplo, en el problema 2, podemos imaginar cómo un estudiante podría definir delta, x como start fraction, e, divided by, n, end fraction o start fraction, 1, divided by, n, end fraction, en vez de start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction. Otro ejemplo es usar simplemente d, x como delta, x. Recuerda que d, x solo se usa en la notación integral, no en la suma. Nos dicen que la integración es con respecto a x.

Otro error común: obtener la expresión equivocada para x, start subscript, i, end subscript

Un estudiante puede olvidar sumar a a delta, x, dot, i, lo que resulta en una expresión incorrecta. Por ejemplo, en el problema 2, un estudiante podría definir x, start subscript, i, end subscript como start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i en vez de 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i.

Si nos piden escribir una integral definida a partir del límite de una suma de Riemann...

Imagina que nos piden encontrar una integral definida que es equivalente a este límite:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
Esto significa que necesitamos encontrar el límite de integración open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket y el integrando start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10. Entonces, la integral definida correspondiente será integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
Sabemos que cada suma de Riemann tiene dos partes: una longitud start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 y una altura start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 para cada rectángulo de la suma. Para este límite específico, podemos hacer elecciones razonables para ambas partes.
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
Rectángulos de longitud uniforme: la expresión start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 es una elección razonable para la longitud de nuestros rectángulos, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, porque no depende del índice i. Esto significa que start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 será igual para cada término en la suma, que es lo que esperaríamos de una suma de Riemann en la que cada rectángulo tiene la misma longitud.
Rectángulos de altura variable: la expresión start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 depende de i, lo que la hace una buena elección para representar la altura, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. La elección más natural para start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd es start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, así que hagámolsa, y entonces la función que estamos integrando es start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
Para determinar los límites de integración, a y b, pensemos en las definiciones generales de start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 y start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd en relación a la integral definida.
Como se define arriba, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. En este problema específico, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, que puede escribirse como start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, por lo que start color #aa87ff, a, end color #aa87ff debe ser igual a start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Como se define abajo, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. En este problema específico, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. Ambos denominadores son iguales a n, por los que los denominadores deben ser iguales: b, minus, a, equals, 5. Sabemos que start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, por lo que concluimos que start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
Si lo juntamos todo, esta es una integral definida que es igual al límite de la suma de Riemann:
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

Practica escribir integrales definidas a partir de sumas de Riemann

Problema 3.A
El conjunto de problemas 3 te guiará por los pasos de encontrar la integral definida que está representada por esta expresión:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
¿Cuál es delta, x en esta expresión?
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Problema común: dificultad para encontrar delta, x en la expresión de la suma de Riemann

Cuando la expresión a sumar es elaborada e incluye muchas fracciones, puede ser difícil identificar qué parte de ella es delta, x.
Recuerda que delta, x debe ser un factor de la expresión a sumar, de la forma start fraction, k, divided by, n, end fraction, donde k no contiene el índice i de la suma.

Otro problema común: dificultad para encontrar los límites de integración

Observa cómo en el conjunto de problemas 3, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction quiso decir que b, minus, a, equals, 4. Esto es útil, pero sin determinar a no sabremos los valores de a y b. Fuimos capaces de encontrar a utilizando el hecho de que x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
Un error común es suponer inmediatamente que si, por ejemplo, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, entonces los límites de integración son open bracket, 0, comma, 4, close bracket.

Un último problema común: dificultad general para analizar la expresión

Algunos estudiantes simplemente no saben por dónde empezar.
Comienza con la expresión a sumar. Debes ser capaz de identificar dos factores: uno de la forma start fraction, k, divided by, n, end fraction (donde k no contiene el índice i de la suma) y otro que es función de i. El primero te dará start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, y el segundo, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd.
Problema 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
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