Ejemplo resuelto: partir el intervalo de la integral

esta que tenemos aquí es la gráfica de la función head es una función que depende de ti definamos una nueva función que llamaremos g mayúscula de x esta función está definida como la integral definida desde menos 3 x de la función g minúscula de t dt y con esta definición de g mayúscula veamos si podemos evaluar la encontremos algunos valores de esta función calculemos entonces g mayúscula evaluada en 4 y también calculemos g mayúscula evaluada en 8 te invito a que le pongas pausa el vídeo e intentes encontrar estos valores por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos bien empecemos con g mayúscula de 4 esto va a ser igual cuando x es igual a 4 este límite superior va a ser igual a 4 así es que g mayúscula de 4 es igual a la integral de menos 3 a 4 de la función g dt dt y esto cuánto va a ser para esto vamos a usar la gráfica tenemos kg de 4 es el integral desde 'the igual a menos 3 ubicamos de igual a menos 3 aquí tenemos de igual a menos 3 y como límite superior tenemos de igual a 4 no voy a remarcar con este con este color naranja así es que estamos integrando hasta t igual a 4 ahora recordemos que esta integral nos va a dar el área arriba del eje y abajo de la función g de t así es que va a ser esta área que tenemos aquí que está arriba del eje y abajo de la gráfica de gtt pero a eso no le vamos a sumar esta área de aquí que estoy sombreando en amarillo se la vamos a restar pues si te fijas aquí la región está al revés está debajo del eje y por arriba de la gráfica dgt tenemos que restar entonces esta área así es que una manera de hacer esto es separando la integral así es que esto lo podemos escribir déjame quitar esto de aquí para que tengamos más espacio así es que esto lo podemos escribir como la integral voy a hacer esto en color púrpura la integral desde que te es igual a menos 3 hasta 0 de g de t de t más y lo voy a hacer con amarillo la integral desde que te es igual a 0 hasta que te es igual a 4 deje de t dt y cuál es el valor de estas integrales bien para la primera aquí tenemos un triángulo que tiene base 3 y altura 3 para calcular el área multiplicamos la base por la altura 3 por 3 es igual a 9 es como si tuviéramos un rectángulo dividido entre 2 así es que esto es igual a 9 medios el valor de la prima integral es 9 medios 4.5 ahora para la segunda integral tenemos un triángulo que tiene base 4 y cuya altura también es 4 esto es 4 por 4 es 16 este es el área del rectángulo dividido entre 2 es igual a 8 pero tenemos que restarlo porque la función viene por abajo del eje t así es que hay que restarle 8 el valor de esta integral que es menos 8 de nueva cuenta estamos restando el valor del área pues la gráfica de la función se encuentra totalmente por debajo del eje y así obtenemos que quede 4 que es básicamente esta área - esta área es igual a 4.58 que esto va a ser veamos 4 - 8 es menos 4.5 es menos 3.5 esto es igual a menos 3.5 ya tenemos que de 4 ahora calculemos de 8 y si no lo hiciste hacia el principio ahora que ya viste cómo calcular g de 4 ponle pausa al vídeo e intenta calcular g de 8 por tu cuenta una manera de hacer esto es aquí tenemos esta área - esta área que ya hicimos pero tenemos que calcular otras dos áreas tenemos que calcular esta área de aquí estaré aquí y estaré acá entonces déjame rellenar las voy a rellenar las regiones que corresponden para las cuales tenemos que calcular su área sería toda esta región que tenemos en naranja y también tenemos que considerar esta región que tenemos aquí entonces cómo quedaría g de 8 quedaría la integral deja de ponerlo con el color correspondiente aquí sería este color púrpura la integral desde que te vale menos 3 hasta que te vale 0 dgt dt más la integral correspondiente a esta región ya previamente calculamos una parte de ésta pero ésta va a ser la integral desde que te vale 0 hasta que te vale 6 de cdt dt y finalmente más la integral desde que te vale 6 hasta que te vale 8 de g de t de t ahora ya sabemos que la primera integral vale 4.5 vamos a evaluar esta segunda integral aquí tenemos un triángulo cuya base es 6 y cuya altura es 4 el área del triángulo va a ser entonces 6 por 4 24 entre 2 12 esta integral tiene un valor de 12 vamos a la siguiente pero atención aquí se nos está olvidando que la región está por debajo del eje y por arriba de la gráfica la función así es que tiene que tener un signo menos y ahora vamos a calcular la siguiente integral la siguiente integral va a ser el área de este triángulo cuya base es 2 y cuya altura es 4 esto va a ser 2 por 48 entre 2 esta tercera integral tiene un valor de 4 y esto cuánto es igual veamos 4.54 8.5 menos 12 8.5 menos 12 vamos a ponerlo por aquí 8.5 menos 28 menos 12 es menos 4 más punto 5 esto es igual a menos 3.5 menos 3.5 el mismo resultado que obtuvimos anteriormente y por qué porque es el mismo como es que obtenemos el mismo resultado veamos que sucedió cuando fuimos deje mayúscula de 4g mayúscula de 8 restamos el valor que se obtiene aquí estamos el valor que se obtiene aquí y después sumamos el valor que se obtiene aquí si te fijas estos dos triángulos son iguales estamos sumando y restando una misma cantidad así es que la cantidad original no se altera