Integrar la versión extendida de una función

hemos visto un montón de veces y seguramente ya estás hasta cansado de que te lo diga pero es muy importante volver a decir que esta área que tengo aquí justo de color amarillo esta área que está por encima del eje x desde el punto x igual am hasta el punto x igual a ver a esta la podemos denotar con esta expresión que tengo aquí como la integral definida desde am hasta ver de fx de x ahora bien lo que quiero ver en este vídeo y de lo cual estoy muy seguro que tú podrías obtener la respuesta por tu cuenta de una manera muy fácil pero bueno en este vídeo lo quiero ver de una manera muy intuitiva es bueno empezar con el área bajo la curva de una versión escalada de fx imagínate que me tomo para empezar james es igual a una constante por fx es decir que es igual a una versión escalada por fx a un número que multiplica a fx y bueno es que realmente se puede valer cualquier numerito que a ti se te ocurra y de hecho am para hacerlo más fácil voy a pensar que se vale 3 si se vale 3 entonces como esta gráfica bueno pues aquí tendría el triple de distancia am se vería más o menos así aquí tengo una vez a dos veces tres veces empezaría como por aquí más o menos a amd si yo tengo esta distancia de que hasta acá ok esta distancia de que ésta cada bueno habrá que hacerla tres veces bien pues sería a una por acá ok y después tenemos más o menos como por aquí ok más o menos y si me fijo justo aquí como tendría la versión de tres veces f x aquí es una vez y después hubo otra vez y otra vez y más o menos voy a estar como por acá ok de lujo y si ahora me fijo por ejemplo en esta distancia de kim ok en esta distancia de aquí tengo una vez y si la repito tres veces me quedaría algo más o menos como por aquí a ok seré la segunda vez y por acá sería a más o menos la tercera vez estaría como justo por aquí es decir que si yo pinto tres veces f x se va a ver más o menos así vamos a subir hasta acá ok vamos a llegar a este punto ok y después vamos a llegar justo por acá y después vamos a empezar a bajar estás de acuerdo se va a ver más o menos así va a bajar un poco como por acá ok más o menos así y después ante m triplicar esta distancia aquí tengo una estaría por acá dos por acá tendría como la tercera estás de acuerdo entonces más o menos se vería así más o menos es una aproximación se vería así am la gráfica de tres veces fx se va a ver más o menos así digo solamente es una aproximación así que déjame poner que esta de aquí es la gráfica de c veces fx claro pensando en ser positiva y distinta de 0 pero ahora en lo que quiero que te fijes es en cuál va a ser el área que yo tengo debajo de esta curva c veces fx desde a hasta b es decir fíjate bien en esta área que voy a dibujar aquí am si yo me fijo aquí ok en esta y después bajó por acá ok por acá ok más o menos así y ahora me fijo en toda esta área todo esto todo esto que estoy coloreando justo ahorita todo esto ok y yo quisiera saber cuánto vale esta área que me podría responder y bueno hay que tener cuidado seguramente lo primero que es como se denota esta área tú no puedes decir ah es que esta área de aquí es exactamente lo mismo que la integral ok desde a hasta ver de bueno esta función de morado es decir c veces fx de x c veces fx de x sin embargo quiero tener cuidado con mi pregunta mi pregunta significaba lo siguiente cómo está relacionada esta área que acabo de pintar de color verde con esta área original con la que empezamos hace rato es decir con el área de color amarillo que tengo justo aquí abajo como están relacionadas estas dos áreas o dicho de otra manera como está relacionada esta integral que acabo de obtener con mi integral original y bueno una forma de ver esto es que si tú escalas la dimensión vertical por cm y esta es una forma de razonar la anp déjame ser más claro si tú tienes el área de algo imagínate de un rectángulo déjame poner aquí a un rectángulo este de aquí va a ser un rectángulo original ok y supongamos que mi dimensión vertical es am no quiero poner a nivel así que voy a poner desde alfa ok alfa mientras que mi dimensión horizontal va a ser beta beta ok como sacamos el área de este rectángulo que tengo aquí bueno pues es muy fácil es lo mismo que alza por beta ok y bueno ahora qué pasa si escalo la dimensión vertical imagínate que ahora me tomo cbc salva así que por acá por acá voy a poner a algo así y esto de aquí va a ser ce veces alfa veces alfa ok mientras que en mi dimensión horizontal la voy a mantener exactamente igual así que ambos de llegar hasta acá hasta acá ok más o menos estamos como por acá y bueno déjeme déjame poner esté aquí ok entonces mi dimensión horizontal se mantiene y es beta quiero que te des cuenta que lo único que hice fue multiplicar esta longitud por cm es decir tomarme veces alta ahora en este momento te voy a preguntar cuánto vale esta área y tú me vas a decir bueno es muy fácil solamente hay que multiplicar esto por esto lo cual es cbc es ok alfa por beta alfa por beta bueno hubo otra forma de ver exactamente lo mismo es la siguiente yo empecé con un área justo aquí y cuando yo escalo una de estas dimensiones voy a obtener la versión escalada de esa misma área es decir a veces alza por beta y de hecho es justo lo que estamos haciendo estamos escalando la dimensión vertical por se recuerda que fx lo que nos daba era la dimensión vertical y la estamos multiplicando por cm es decir estamos escalando la altura de esta función y date cuenta que la equis no cambia si nosotros regresamos a la idea de sumas de riman nos estamos tomando el área de los rectángulos que tienen el mismo ancho pero ahora estamos escalando el árbol porque recuerda que fx lo que nos daba era la altura de nuestros rectángulos y ahora lo que estamos haciendo se escalando esa altura eso quiere decir que si nosotros vemos a la integral a la integral desde amd hasta b de c veces fx efe de x de x es decir estamos pensando en esta área de color verde esto va a ser exactamente igual a tomarnos el área original es decir esta integral tomarnos esta área de color amarillo déjame buscar el mismo color me voy a tomar la integral desde am hasta b de fx de fx de x es decir estoy pensando en mi integral original ok pero estoy tomándome una versión escalada estoy tomándome una versión escalada de esta función y por lo tanto me estoy tomando la versión escalada de esta área o dicho otra manera de esta integral y justo a este resultado quería llegar seguramente tú me puedes decir es que esta no es una prueba rigurosa basados en la definición de integrales definidas pero lo que sí quiero que veas es que es una forma intuitiva de entender esta propiedad tengo enlace adentro de la integral y ahora puedo sacar las de afuera de la integral y eso es bastante intuitivo y es que lo importante de este vídeo es que recuerda es lo siguiente si yo escalo nuestra función original es decir estoy multiplicando por sea f x eso quiere decir que estoy escalando la dimensión vertical estoy multiplicando a la dimensión vertical por cm entonces el área escalada que nos da esto va a ser exactamente igual a la versión escalada de esta área original que teníamos de nuestra función fx y bueno con esto acabamos de probar una de las propiedades más importantes que tenemos ante las integrales esta de aquí aunque por cierto nos va a ayudar muchísimo a resolver varios problemas sobre integrales y también para que tengas una idea más clara todo lo que estamos haciendo ok hasta luego