Integrales definidas negativas

ya hemos hablado sobre las integrales definidas como la integral definida de a ave de fx de x esto representa el área bajo la curva fx este es el eje y este el eje x esta curva es igual a fx si esto es a y esto es b podemos pensar que esta expresión es igual a esta área pero qué pasa si la función no se encuentra por arriba del eje x y estuviera por debajo de éste vamos a dibujar este escenario donde la función eje x está así esto es igual a gd x aquí está y aquí esta vez también digamos que esta área de acá es igual a 5 si nos preguntaran cuál es la integral definida de a a b de gx de x cual piensan que será la respuesta quizá se vean tentados a decir que es el área entre la curva y el eje x es decir que es igual a 5 pero aquí debemos ser cuidadosos porque si nos interesa el área por arriba de la curva y por debajo del eje x el lugar del área bajo la curva y arriba del eje x esta integral definida será igual al negativo del área más adelante veremos que aunque esto funciona muy bien para todo un conjunto de propiedades de la integral si queremos comprender un poco el por qué se da esto pensemos en una gráfica de velocidad contra tiempo el eje horizontal es el tiempo y el eje vertical es la velocidad las unidades de velocidad son metros por segundo y el tiempo está en segundos de hecho vamos a dibujar dos escenarios tenemos una primera gráfica de velocidad contra tiempo que llamaremos b1 dt que es igual a tres metros por segundo por lo que luce así a que será igual la integral definida desde el tiempo igual a uno al tiempo igual a cinco debe sub uno dt dt pues aquí la función está por arriba del eje horizontal así que de 1 a 5 tenemos esta área de acá esta área es 3 metros por segundo multiplicada por 4 segundos que es el cambio en el tiempo por lo que el área es de 12 metros esto lo podemos interpretar como el cambio en la posición la velocidad es tres metros por segundo y como es positiva podemos decir que va a la derecha cuál es el cambio en la posición pues es de 12 metros a la derecha no necesitamos saber cálculo para encontrar esto tres metros por segundo multiplicado por cuatro segundos es igual a 12 metros pero qué pasaría si esto fuera al revés si tenemos una función en velocidad de sub 2 dt que es igual a menos 2 metros por segundo aquí dibujamos b sub 2 dt cuál debería ser la integral definida de 15 dv sub 2 de t dt pues debe ser igual al cambio en la posición pero si la velocidad es negativa entonces significa que el movimiento es a la izquierda por lo que el cambio en la posición también es a la izquierda en lugar de a la derecha vemos esta área de acá y vemos que es 2 x 4 igual a 8 pero debemos tener cuidado porque el área está debajo del eje horizontal y por arriba de la función así que esto será negativo esto tiene sentido porque si el movimiento es 2 metros por segundo recordemos que el signo negativo indica la dirección a la izquierda y esto ocurre durante 4 segundos entonces el cambio en la posición será 8 metros a la izquierda que expresamos con el signo negativo esto es igual a menos 8 en resumen si el área de la integral está por debajo de la función y por arriba del eje horizontal ya es menor que b entonces la integral definida es positiva si es menor que b y el área de la integral está por arriba de la función y por debajo del eje horizontal entonces la integral definida es negativa más adelante veremos integrales que son una mezcla de ambas lo que es un poco más complicado nos vemos en el siguiente vídeo