Ejemplo resuelto: volver a escribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann

vamos a practicar reescribiendo integrales definidas como el límite de una suma de riman digamos que tenemos la integral definida que va de p2p de coseno de x de x lo que quiero hacer es reescribir esto como el límite cuando n tiende a infinito de una suma de riman ponemos nuestra notación sigma que va desde igual a uno hasta n lo movemos un poco para que se vea bien vamos a escribir lo que sucede aquí para darnos una idea de lo que tenemos que escribir dentro de la notación sigma aquí tenemos que acá tenemos tres pi entre dos y aquí tenemos dos pi como luce la gráfica de coseno de x el coseno depp y es menos 1 que ponemos aquí y el coseno de 2 pi es igual a 1 que ponemos acá por lo que la gráfica va a verse más o menos así aunque es algo que estoy dibujando a mano así que no me va a quedar muy exacto que digamos pero ustedes ya han visto la gráfica de un coseno con anterioridad integral definida representa el área que va desde pi hasta 2 pi entre la curva y el eje x seguro ya se dieron cuenta de que esta parte de la integral definida va a ser negativa y esta otra parte de la integral definida va a ser positiva por lo que se cancelarán mutuamente así que todo esto será igual a 0 en este caso pero el propósito de este vídeo es reescribir esto como el límite cuando n tiende a infinito de una suma de riman para obtener la suma de riman lo que tenemos que hacer es descomponer esto en n rectángulos vamos a dibujarlos y vamos a escribir la suma de herriman en donde el extremo derecho de nuestro rectángulo tiene el valor de la función en ese punto esto es lo que define la altura continuamos así hasta llegar a nuestro último rectángulo aquí tenemos igual a 1 aquí igual a 2 y seguimos hasta llegar ahí igual a n y si tomamos el límite cuando n se aproxima a infinito el área de los rectángulos va a ser mejor cada vez ahora pensemos en cuál será la base de cada uno de estos rectángulos estamos tomando el intervalo que va de pi hasta 2 pie y vamos a dividirlo entre n intervalos iguales de manera que la base de cada rectángulo va a ser 2 p - pi entre n tomamos la diferencia entre los límites de integración de nuestra integral y la dividimos entre n que es igual ap / m esto mide la base de cada uno de estos rectángulos y cuál será la altura de cada uno de estos rectángulos recuerden que esta es una suma de riman por la derecha por lo que el lado derecho de nuestro rectángulo es el que definirá la altura por ejemplo cuál será esta altura de acá este valor es igual a efe de que esto es pi y a esto le sumamos la base del rectángulo que es p / n así que es fdp más pi entre n por 1 esto es esta altura de aquí cuál será esta altura de aquí ésta es fdp nuestro comienzo y le sumamos pi entre n y lo multiplicamos por 2 la forma general del extremo derecho va a ser fd comenzamos aquí en más estamos haciendo la suma de riman por la derecha agregamos pi entre n por n o si queremos ver la forma general del décimo rectángulo cuando lo sumamos todos en este caso la altura será coseno de pi más para el décimo rectángulo sumamos pi entre n iv veces esta es la altura de cada uno de nuestros rectángulos cuál es la base está ya la habíamos encontrado espí entre n seamos cuidadosos con la anotación para hacer que esto aplique a toda la expresión y ya tenemos lo que nos piden le expresamos esta integral definida como el límite de una suma de riman por la derecha