Intercambiar los límites de integración de una integral definida

hasta ahorita ya hemos trabajado con una de las definiciones de la integral definida que es justo hasta que tengo aquí y de hecho todas las demás definiciones de la integral definida son muy parecidas a ésta es decir la integral definida de ave de esta función de fx de x es justo esta área que tengo coloreada de azul y bueno lo que vimos fue que nosotros podemos obtener una buena aproximación si dividimos esta área completa que tengo aquí en pequeños rectángulos es decir si yo me tomo aquí al primero de ellos déjame ponerlo más o menos así ok a esta parte por aquí ok después me tomo el segundo vamos a verlo más o menos así ok más o menos así y después me sigo tomando varios de ellos este es el primero este es el segundo y por aquí llegó hasta el n menos uno que va a ser este de aquí déjame tomarlo por acá y este va a ser mi penúltimo de ellos ok y por acá voy a decir que me tomo al último de ellos que es este de aquí es decir este último de aquí y bueno para hacernos las cosas más fáciles en este vídeo voy a suponer que todos tienen mismo ancho que cada uno de estos rectángulos tiene el mismo ancho entonces este es el n ok y bueno voy a decir que el ancho es exactamente el mismo para todos los rectángulos y el ancho lo voy a llamar delta x y bueno recuerda que hemos visto algunas definiciones de integral en donde no forzosamente deben de tener el mismo ancho sin embargo aquí para hacer las cosas de una manera mucho más sencilla se puede decir que es el mismo ancho para cada uno de esos rectángulos que es delta x y como ya hemos visto a delta x lo podemos calcular de la siguiente manera es exactamente igual que tomarme am - am ok b - ah ok la diferencia entre estos dos ya esto dividirlo ya esto dividirlo ok entre n n que va a ser la cantidad de rectángulos que no voy a tomar así que déjame ponerlo así ya esto lo voy a dividir entre n lo cual tiene mucho sentido con bueno todo lo que hemos visto de divisiones si nosotros tomamos esta longitud de este segmento y lo dividimos entre n partes bueno pues cada una de estas va a tener la misma longitud que por cierto es delta x y entonces podemos decir que esto va a ser exactamente igual a la suma ok a la suma de quién bueno desde y igual a 1 ok desde iu igual a uno hasta n me voy a tomar la suma de todas las áreas que tengo aquí como tenemos en rectángulos me estoy tomando el área de todos estos rectángulos ok de quien como encontramos esa área bueno pues multiplicando a efe de x 26 de x sub índice y ok am donde recuerda que x subíndice y es el punto final en donde termina nuestro rectángulo en este caso tendríamos x subíndice 1 que date cuenta que nos da esta cierta altura lo cual es efe de x subíndice y aquí tengo x 1 aquí tengo x 2 aquí tendrían x 3 y bueno todos los demás ya esto lo multiplicamos por el ancho pero el ancho sabemos que es delta x entonces a esto lo multiplicamos por delta x por ejemplo si hablamos de x subíndice 2 bueno efe de x subíndice 2 es y aquí tenemos a x subíndice 2 iba a ser esta altura que tengo aquí este es de x subíndice 2 ok esta parte que tengo aquí y bueno si a esto lo multiplicó por delta x ok que es esta parte de aquí bueno a esto lo multiplicó por delta x entonces date cuenta que me da justo esta esta área que tengo aquí que es justo lo que yo quiero de lujo entonces esta expresión lo que me está dando es la suma de todas estas áreas y esto no tiene nada nuevo porque de hecho lo hemos platicado cuando nosotros hablábamos de la integral de riman nosotros lo que vimos fue que cuando teníamos esta integral igual al límite ok al límite o déjenme poner que esta es una l al límite cuando n tiende a infinito ok de todos estos rectángulos entonces nos daba la famosa integral de riman donde claro está delta de x está definido de esta manera así que déjame ponerlo donde ok donde definimos a delta de x de esta manera esta es una forma de pensarlo así que déjame atraparlo lo voy a copiar por aquí ok y lo voy a poner justo por acá esta es una manera de pensar este problema ahora dada esta definición en cómo piensas que podemos ver la siguiente integral qué te parece si ahora pensamos en esta integral integral debe hasta a de f de x ok de x y bueno esto pensado en relación a esta integral que tengo aquí arriba es decir cómo puedo relacionar estas dos integrales utilizando esta definición y ojo lo único que estoy haciendo es cambiando los límites de integración aquí voy de am hasta b y aquí voy a ir de b hasta a como están relacionadas estas 2 integrales y te encargo que te fijes muy bien en esta expresión que tengo aquí para que saque sus propias conclusiones así que en este momento pausa el vídeo para que llegues a tu propia respuesta y bueno seguramente te vas a dar cuenta que es muy parecido a esto de hecho voy a atrapar esto que tengo aquí lo voy a tratar todo todo todo y lo voy a copiar y lo voy a pegar porque voy a utilizarlo exactamente a esta misma definición que tengo aquí va a ser casi exactamente lo mismo pero ahora va a haber una pequeña diferencia la diferencia que va a ver es que voy a cambiar esta esta parte que tengo aquí déjame borrar esto y ahora en lugar de ir y suena muy lógico en lugar de ir de menos a me voy a tomar ahora la diferencia de a menos pero déjame ponerlo con este color ahora me voy a tomar a delta de x como a menos b ok estoy dividido entre n y ahora quiero que te des cuenta es lo siguiente este delta de x antes que me ponerlo con este color naranja este delta de x de color anaranjado este de aquí este por cierto es este de aquí ok va a ser exactamente igual a menos este delta de x de color verde al menos este delta de x que tengo de color de este que tengo aquí es decir es la versión negativa de este que tengo aquí esta es la versión negativa de este que tengo aquí y bueno todo lo demás es lo mismo date cuenta que dejamos exactamente igual esta parte y entonces con que voy a acabar bueno pues date cuenta que voy a acabar con la versión negativa de esta integral que tengo aquí dicho de otra manera esto es exactamente lo mismo que tomarme menos la integral ok desde a hasta df df de x ok esto de x de x y justo a este resultado quería llegar que por cierto es una de las propiedades más importantes que existen ok cuando hablamos de integrales este que va a ser mi resultado de este vídeo que dicho de otra manera lo que me está diciendo es que si nosotros nos tomamos un cambio en los límites de integración es decir si volteamos los límites de integración que por cierto esta idea viene de aquí arriba solamente de cambiar un signo en este delta de x en darnos cuenta que si está delta de x está definido como ve - am cuando yo cambios los límites de integración entonces ahora este delta de x lo podemos definir como a menos b lo cual por cierto es la versión negativa de este delta de x de color verde o dicho de otra manera la versión negativa de este delta de x original es decir que si cambiamos este delta de x vamos a llegar a la versión negativa de esta integral que tengo aquí y ya está la propiedad que quería ver en este vídeo que por cierto es una de las propiedades más importantes y de las propiedades más pero más pero más útiles que tenemos cuando hablamos de integrales la cual va a ser mucho más sentido cuando intentemos resolverlas