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6° Semestre Bachillerato
Curso: 6° Semestre Bachillerato > Unidad 2
Lección 4: Problemas relacionados con la integral definida- El área bajo una función de razón nos da el cambio neto
- Interpretar la integral definida como el cambio neto
- Ejemplos resueltos: interpretar integrales definidas en contexto
- Interpretar integrales definidas en contexto
- Analizar problemas que involucran integrales definidas
- Analizar problemas que involucran integrales definidas
- Analizar problemas que involucran integrales definidas
- Ejemplo resuelto: problema que involucra una integral definida (algebraico)
- Problemas de integrales definidas (algebraicamente)
- Valor promedio en un intervalo cerrado
- Calcular el valor promedio de una función en un intervalo
- Valor promedio de una función
- Teorema del valor medio para integrales
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Analizar problemas que involucran integrales definidas
La interpretación de las integrales definidas como acumulación de cantidades puede usarse para resolver diversos problemas verbales del mundo real.
Los problemas de acumulación (o de cambio neto) son problemas verbales donde la razón de cambio de una cantidad está dada y se nos pide calcular el valor de la cantidad acumulada a lo largo del tiempo. Estos problemas se resuelven por medio de integrales definidas. Veamos cómo se hace.
Los problemas de acumulación se resuelven con integrales definidas
Imagina que se nos da la siguiente información:
La temperatura de una sopa crece a una razón de r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 30, e, start superscript, minus, 0, point, 3, t, end superscript grados Celsius por minuto (donde t es el tiempo en minutos). En el tiempo t, equals, 0, la temperatura de la sopa es de 23 grados Celsius.
E imagina que se nos pide encontrar la cantidad por la cual la temperatura aumentó entre t, equals, 0 y t, equals, 5 minutos. Este es un problema verbal de acumulación (o cambio neto). Podemos decir que lo es porque se nos da una función que modela la razón de cambio de una cantidad y se nos pregunta sobre el cambio en esa cantidad en un intervalo de tiempo.
Para cualquier cantidad cuya razón está dada por la función r, la integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t describe la cantidad por la cual esta cambió entre t, equals, a y t, equals, b.
Así, en nuestro caso, la cantidad por la cual la temperatura creció entre t, equals, 0 y t, equals, 5 minutos está dada por integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 77, point, 7 grados Celsius
Ahora imagina que se nos hace una pregunta diferente: ¿cuál es la temperatura de la sopa a los t, equals, 5 minutos? Observa que ya no estamos lidiando con un cambio, sino con un valor real. ¡Pero no temas, porque las integrales definidas también pueden ayudarnos con este problema! Lo único que necesitamos hacer es sumar la condición inicial.
Recuerda que se nos dijo que la temperatura de la sopa al tiempo t, equals, 0 era de 23 grados Celsius. Si sumamos esta cantidad al cambio en la temperatura entre t, equals, 0 y t, equals, 5, obtenemos la temperatura en t, equals, 5:
Como ya calculamos integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, podemos decir que a los t, equals, 5 minutos, la temperatura fue de 23, plus, 77, point, 7, equals, 100, point, 7 grados Celsius. ¡Está hirviendo!
Error común: utilizar equivocadamente las condiciones iniciales
Algunos problemas de acumulación piden un cambio neto, y otros un valor real. La diferencia es que cuando buscamos un valor real debemos usar las condiciones iniciales.
Un error común sería usar las condiciones iniciales cuando se nos pide un cambio neto, o no usarlas cuando se nos pide un valor real.
Error común: usar diferenciación en vez de integración
Los problemas verbales aplicados son comunes tanto en el cálculo diferencial como en el cálculo integral. Cuando se nos da un problema verbal, debemos decidir si la solución involucra derivadas o integrales. Hacer la elección equivocada por supuesto resultará en la respuesta equivocada.
Las derivadas son útiles cuando se nos da una cantidad y se nos pregunta sobre su razón, mientras que las integrales son útiles cuando se nos da una razón y se nos pregunta sobre la cantidad.
| ¿Qué se nos da? | ¿Qué falta? | ¿Qué usar? | |
|---|---|---|---|
| Cálculo diferencial | Cantidad | Razón | Derivada |
| Cálculo integral | Razón | Cantidad (o cambio en la cantidad) | Integral |
Error común: mala elección del intervalo de integración
Como acabas de ver, escoger el intervalo correcto de integración es fundamental para llegar a la respuesta correcta. Asegúrate de que no estás escogiendo los límites incorrectos, especialmente para el punto inicial, que usualmente se ignora.
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