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Contenido principal

Analizar problemas que involucran integrales definidas

Mira ejemplos resueltos de cómo encontrar una expresión apropiada para resolver problemas verbales con integrales definidas.

Transcripción del video

la población de una ciudad crece a una tasa de rd de 300 por el elevado al 0.3 porter personas por año donde este es el tiempo en años en el tiempo de igual a dos años la población de la ciudad es de 1200 personas cuál será su población entre igual a 7 y acá abajo nos preguntan cuál es la expresión que nos ayuda a resolver el problema primero hay que tener cuidado no nos piden que resolvamos la pregunta del problema lo que nos piden es que nos basemos en ella y viene el problema para resolver la pregunta cuál es la expresión que nos ayuda a resolver el problema usando algunos símbolos de cálculo así que qué tal si pausas el vídeo e intentas encontrar la solución bien intentemos recordar lo que nos dan nos dan una función de tasa de cambio por lo que si quieres encontrar el cambio en la población de un tiempo a otro lo que necesitamos es encontrar la integral definida de la función de la tasa de cambio que en este caso es r dt ok dt desde un cierto tiempo hasta otro en este caso va a ser desde el tiempo inicial que es el tiempo de t igual a dos años hasta el tiempo final que en este caso es de t igual a siete años la integral de la función de la tasa de cambio de tema y lo que nos dice esta expresión es cómo cambia la población desde el año igualados hasta el año igual a 7 así que mejor lo voy a notar esto de aquí lo que nos dice es el cambio en la población ahora en cuidado no nos preguntan cuál es el cambio en la población nos piden la población igual a 7 por lo tanto necesitamos saber cuál es la población en este caso entre igual a 2 años ok ya esto sumarle el cambio en la población desde te iguala dos años hasta te iguala siete años pero por suerte sabemos que entre igual a dos años nuestra población era de 1.200 personas por lo tanto si quieres saber la población entre igual a 7 debes de tomar la suma de 1.200 personas más el cambio en la población desde te igualados hasta te igual a 7 que como ya sabemos es la integral definida de la función de la tasa de cambio dt que en este caso la tasa de cambio es esta función que tengo aquí a la que incrementa la población así que podemos ver que claramente es el inciso de muy bien y podemos ver rápidamente las otras opciones el inciso b es simplemente el cambio en la población desde t igualados hasta de igual a 7 y como podemos ver es una función creciente aquí lo puedes ver entonces esta integral nos dice cuánto crece en la población desde t igualados la strata igual a 7 pero no no es lo que queremos ok el inciso se nos dice como incrementa la población desde t igual a 0 hasta que igual a 7 y seguramente me dirás oye porque esta no es la población que buscamos bueno sería la opción correcta si no existiera población entre igual a 0 pero no podemos suponer eso tal vez la ciudad se estableció en un principio con 10 personas o con 1000 personas aún no sé por lo que sean así que en definitiva esta tampoco es mi opción correcta la opción a por su parte toma la derivada ok es un poco difícil poder imaginar qué representa esta derivada esto sería como la tasa de cambio de la tasa de cambio entre igual a 7 - la tasa de cambio de la tasa de cambio entre igualados por lo cual tampoco es lo que buscamos y en definitiva voy a cancelar la ok entonces mi opción correcta es el inciso de m y qué te parece si hacemos otro ejercicio como este para eso voy a quitar este ejercicio y voy a traer este de aquí dice la profundidad de un tanque de agua cambia con una tasa de cambio de rd igual a 0.3 por tm centímetros por minuto donde t es el tiempo en minutos en el tiempo de igual a cero la profundidad del tanque es de 35 centímetros cuál es el cambio en la profundidad del tanque durante el cuarto minuto cual es la expresión que nos ayuda a resolver el problema bien pausa el vídeo e intenta de nuevo encontrar la expresión que buscamos es decir la expresión que nos dará el cambio en la profundidad del tanque durante el cuarto minuto bien ya hemos hablado sobre cómo encontrar el cambio en una función para ello tomamos la integral definida de la función de la tasa de cambio sobre el tiempo adecuado observan nos piden este cambio durante el cuarto minuto y eso es lo importante hay que saber cuál es el cuarto minuto para así poder encontrar los límites de nuestra integral definida porque en definitiva vamos a tomar la integral de la función r dt m dt de hecho puedes ver que todas las opciones tienen la integral de r de tdt pero la parte más interesante es interpretar esta idea del cuarto minuto es justo lo que queremos saber cuáles van a ser nuestros límites de integración así que para ello qué te parece si dibujamos por aquí un par de ejes voy a suponer que este es mi eje de james este es mi eje del tiempo deja de ponerle nombre este va a ser mi eje de bien igual a rt mientras que este va a ser mi eje del tiempo y bueno el primer minuto va a ir desde el tiempo de igual a 0 hasta el tiempo igual a 1 el segundo minuto va a ir desde el tiempo de igual a 1 hasta el tiempo de igualados el tercer minuto va a ir desde el tiempo de igualados hasta el tiempo de igual a 3 y el cuarto minuto va a ir desde el tiempo de igual a 3 hasta el tiempo de igual a 4 si observas esta es una función que nos da una recta es una función lineal que se ve más o menos así ahora cuál es el cuarto minuto bueno observa este de aquí es mi primer minuto este es mi segundo minuto mi tercer minuto y mi cuarto minuto por lo tanto lo que estoy buscando es el área bajo la función de la tasa de cambio entre estos dos tiempos es decir esta área que estoy pintando en este momento y ahora ya sabemos cuáles son mis límites de integración vamos a tomar esta integral definida desde igual a 3 hasta t igual a 4 así que vamos a buscar la expresión que nos den el área que estoy pintando y bueno se observa es justo lo que nos dicen el inciso a de lujo ten cuidado puedes estar tentado a seleccionar la opción b tal vez puedas pensar que el cuarto minuto es pasándote igual a 4 pero como acabamos de ver este sería el quinto minuto entonces esta opción no es la correcta y voy a cancelar la el inciso se nos muestra el cambio durante los primeros cuatro minutos y no es durante el cuarto minuto así que también voy a cancelar la y el inciso tm bueno es una integral que que me da 0 esta integral que representa el cambio en la función desde t igual a 3 hasta t igual a 3 en un solo instante por lo tanto no hay tiempo alguno de 3 a 3 y entonces voy a cancelar esta opción ahora si podemos decir que la respuesta es el inciso am y hemos terminado nos vemos en el siguiente vídeo