Calcular el valor promedio de una función en un intervalo

supongamos que tenemos la función fx igual a equis cuadrada más uno y que queremos calcular el valor promedio de esta función f en el intervalo en el intervalo cerrado 03 en el intervalo que va de 0 a 3 y te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta sobre todo si has visto vídeos previos donde se calcula el valor promedio de funciones deberás poder calcular el valor promedio de esta función sobre este intervalo bien supongo que ya lo intentaste vamos entonces a visualizar qué es lo que está ocurriendo antes de calcular cuál es dicho valor promedio aquí tenemos entonces nuestro eje y este de aquí es nuestro eje x vamos a graficar la función en el intervalo cerrado 03 aquí tenemos el 0 1 2 3 y la escala para la aie veamos cuando x es igual a 0 fx es igual a 1 aquí tenemos efe de 0 igual a 1 cuando x es igual a 2 efe de 2 es igual a 5 pero aquí espera la escala no es la adecuada vamos a corregir la el valor de la función llega hasta 10 aquí tenemos el 10 este es el 5 y luego aquí tendríamos veamos 1 2 3 4 no no está bien eso hagámoslo bien 52 luego otra vez entre 2 no está mal ya se ve mejor entonces aquí tendríamos el 5 y ahora sí efe de 0 es igual a 1 efe de uno es igual a 2 obviamente son distintas las escalas de iu y x tenemos aquí f de 5 y f de 3 que es 3 al cuadrado 91 10 f de 3 igual a 10 y esto se va a ver más o menos así esta es la gráfica de la función esta es la gráfica de igual a fx y nos interesa el valor promedio de la función en el intervalo cerrado que va de 0 a 3 podríamos ya aplicar la fórmula pero es importante que sepas qué es lo que de hecho significa esta fórmula de tal manera que no es necesario memorizar la fórmula si sabes lo que representa entonces el promedio de la función f es igual la integral definida sobre este intervalo básicamente el área bajo esta curva esto es igual a la integral definida de 0 a 3 de la función efe que es equis cuadrada más 1 de x así es que vamos a tomar esta área y la vamos a dividir entre la longitud del intervalo para obtener la altura promedio de esta región que es el valor promedio de la función así es que la vamos a dividir entre b menos a que es 3 - 0 o simplemente 3 y ahora sólo tenemos que evaluar esto así es que esto es igual a un tercio de la anti derivada de x cuadrada que es x cúbica sobre tres más la anti derivada de uno que es x y esto evaluado de 0 a 3 lo cual es igual a un tercio que multiplica a vamos a evaluar la anti derivada en 3 voy a usar otro color aquí tenemos 3 al cubo 27 entre 3 9 93 - ahora evaluamos en el límite inferior evaluamos en 0 lo cual es 0 al cubo entre 30 simplemente 0 - 0 y así entonces esto nos queda déjame cerrar los corchetes con el mismo color esto es igual a un tercio por 12 o 12 sobre 3 lo cual es igual a 4 esto es igual a 4 lo cual es el valor promedio de nuestra función el valor promedio en nuestra función sobre este intervalo el valor promedio de nuestra función sobre este intervalo es igual a 4 y observa que nuestra función de hecho toma ese valor en algún punto del intervalo en algún punto del intervalo un punto que es menor a 2 y mayor que 1 ya me molesté tiene ese valor de c parece que la función vale 4 y esto es algo que siempre se va a dar este es de hecho el teorema de valor medio para integrar y ya lo revisaremos con mayor detalle en otro vídeo pero aquí podemos ver gráficamente que si tomamos un rectángulo cuya altura sea el valor promedio de la función y cuya base sea la longitud del intervalo dicho rectángulo va a tener un área que en este caso es igual a 12 y que es esta que estoy dibujando aquí esa área es exactamente igual al área bajo la curva de la función esto es el valor promedio de la función por la longitud del intervalo en fin espero que este vídeo te haya sido útil