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Contenido principal

El método de cambio de variable

El método de sustitución esencialmente revierte la regla de la cadena para derivadas. En otras palabras, nos ayuda a integrar composiciones de funciones.
Cuando buscamos antiderivadas, básicamente realizamos una "diferenciación inversa". En algunos casos, esta operación es muy sencilla. Por ejemplo, sabemos que la derivada de start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 es start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, por lo que integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Podemos usar este sencillo razonamiento con otras funciones básicas, como sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction, etcétera.
Otros casos, sin embargo, no son tan simples. Por ejemplo, ¿cuánto vale integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Pista: no es sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Intenta derivar y verás por qué.
Un método que puede ser muy útil es un cambio de variables, que básicamente es el inverso de la regla de la cadena.

Usar cambio de variables en integrales indefinidas

Imagina que nos piden encontrar integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observa que start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab es la derivada de start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, que es la función "interior" de la función compuesta start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. En otras palabras, si start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 y start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, entonces:
start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10
Esto siguiere que podemos usar un cambio de variable. Veamos cómo se hace.
Primero, derivamos la ecuación start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 con respecto a x, donde tratamos la variable u como una función implícita de x.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2xdx\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}
En la última igualdad, multiplicamos la ecuación por d, x para despejar d, u. Esto es poco ortodoxo, pero útil para nuestro siguiente paso. Así, tenemos que start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 y start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Ahora podemos realizar una sustitución en la integral:
=2xcos(x2)dx=cos(x2u)2xdxduReordena.=cos(u)duSustituye.\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{Reordena.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{Sustituye.}} \end{aligned}
Después de la sustitución tenemos una expresión para la antiderivada de start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 en términos de u. ¡Qué conveniente! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis es una función básica, por lo que podemos encontrar su antiderivada de forma sencilla. Lo único que queda por hacer es escribir la función en términos de x:
=cos(u)du=sin(u)+C=sin(x2)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}
En conclusión, integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x is sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Puedes derivar sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C para verificar que es cierto.
Punto clave #1: un cambio de variable es básicamente invertir la regla de la cadena:
  • De acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 es start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
  • En un cambio de variable, tomamos una expresión de la forma start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab y encontramos su antiderivada, start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.
Punto clave #2: un cambio de variable nos ayuda a simplificar una expresión complicada al volver una variable la función "interior".
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará por todos los pasos necesarios para encontrar la integral siguiente por medio de un cambio de variable:
integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark
¿Cómo debemos definir u?
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Error común: obtener expresiones equivocadas para u o d, u

Escoger la expresión equivocada para u resultará en la respuesta incorrecta. Por ejemplo, en el conjunto de problemas 1, u debe definirse como 2, x, cubed, plus, 5. Hacer u 6, x, squared o left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript nunca funcionará.
Recuerda: para poder aplicar un cambio de variable, debemos ser capaces de escribir el integrando como start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab. Entonces, u debe definirse como la función interior del factor compuesto.
Otro paso crucial en este proceso es encontrar d, u. Asegúrate de que estás derivando u correctamente, porque una expresión equivocada de d, u también resultará en una respuesta equivocada.
Problema 2
Se le pidió a Tim encontrar integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x. Esta es su respuesta:
integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C
¿Es correcto el trabajo de Tim? Si no es así, ¿dónde está su error?
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Error común: no darse cuenta de que hay que usar un cambio de variable

recuerda: cuando integramos una función compuesta, no podemos simplemente tomar la antiderivada de la función exterior. Necesitamos usar un cambio de variable.
Si W es la antiderivada de w, este punto puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:
integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

Otro error común: confundir la función interior y su derivada

Imagina que intentas encontrar integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. Podrías decir "como 2, x es la derivada de x, squared, podemos usar un cambio de variable". De hecho, como un cambio de variable requiere tomar la derivada de la función interior, x, squared debe ser la derivada de 2, x para que el cambio de variable funcione. Como este no es el caso, no podemos aplicar un cambio de variable.

A veces necesitamos multiplicar o dividir la integral por una constante.

Imagina que se nos pide encontrar integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observa que mientras que tenemos una función compuesta, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, no es multiplicada por nada. Esto puede parecer raro al principio, pero procedamos y veamos qué ocurre.
Sea start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54. Entonces, start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. Ahora, sustituimos u en la integral, no antes de realizar esta ingeniosa manipulación:
integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab
¿Ves lo que hicimos? Para tener start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab en el integrando, multiplicamos toda la integral por start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. De este modo podemos hacer un cambio de variable y mantener el valor de la integral a la vez.
Continuemos con el cambio de variable:
=13sin(3x+5u)3dxdu=13sin(u)du=13cos(u)+C=13cos(3x+5)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}
Punto clave: a veces necesitamos multiplicar o dividir la integral completa por una constante, de tal manera que consigamos la forma apropiada para hacer un cambio de variable sin alterar el valor de la integral.
Problema 3
integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark
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