Método de cambio de variable: aplicación especial

bueno pues en esta ocasión tenemos la integral indefinida de x 3 todo esto que multiplica a x menos 1 elevado a la quinta potencia de x y tal vez pienses si elevamos x menos 1 a la quinta potencia podemos utilizar la fórmula del binomio de newton y así resolver este tipo de binomio elevado a la quinta potencia sin embargo va a ser muy muy largo y muy tardado y después de eso lo tendremos que multiplicar por x 3 y bueno podría ser una forma de resolverlo pero qué tal si sale por sustitución entonces la idea de este vídeo es hacer este tipo de problema por sustitución y tal vez no parezca tan sencillo sin embargo elevar x menos 1 la quinta potencia va a ser mucho más tardado que la forma en lo que yo lo voy a resolver entonces como el binomio x menos 1 es el que está elevado a la quinta potencia es muy buen candidato para un es igual a x menos 1 y entonces la derivada de v es igual a x bueno recuerden que esto pasa si sólo si la derivada de eeuu con respecto a x es igual a 1 aquí tenemos la derivada de x que es 1 la derivada de menos 1 se va y esto pasa si y sólo si y bueno ya tenemos esto entonces podemos tratar de reescribir esta integral me queda la integral vamos a ponerlo aquí de quien y yo tengo primero x + 3 esto no está en términos de 1 sin embargo podemos intentar pensarlo como en términos de v y aquí es como hacer la sustitución hacia atrás porque fíjense yo tengo que hubo es igual a x + 1 esta es una igualdad por lo tanto yo puedo sumar uno de los dos lados de la ecuación y me va a quedar que más uno es igual a x uno más uno es igual a equis y ya con esto estamos despejando a x de aquí youtube el valor de x en términos de eeuu y puedo sustituirla en el primer factor y que me queda pues x 3 es lo mismo x es lo mismo que uno más uno entonces me queda uno más uno ya esto hay que sumarle tres entonces dejen de escribirlo x 11 y a esto le sumamos 3 y todo esto lo vamos a multiplicar por x menos 1 pero x menos 1 es y por lo tanto tengo elevado a la quinta potencia y elevado a la quinta potencia diferencial de x por el diferencial de x es lo mismo que el diferencial de eeuu y me queda de eeuu y bueno está integral la podemos escribir de una manera mucho más sencilla usando álgebra el álgebra elemental por lo tanto tenemos que más 13 es lo mismo que uno más cuatro esto de aquí es uno más cuatro que multiplica a su vez a quinta entonces me queda aún más cuatro que multiplica su vez a un elevado a la quinta potencia diferencial de iu y bueno ahora si yo multiplico cuatro por quinta me va a quedar un integral muy sencilla las integrales que empezamos a ver desde un principio y todo esto lo estoy logrando con un cambio de variable muy sencillo por lo tanto vamos seguir esta integral me queda un +4 que multiplica a un quinta me queda un quinta por su quinta por cuatro y esto va a ser igual a la integral de sexta más cuatro veces y quinta y todo esto todo esto diferencial de un y resolver esta integral es muy fácil porque es la integral de una potencia de una potencia que depende de eeuu y date cuenta que el haber elevado este binomio a la quinta potencia y va a ser muy pesado por lo tanto el hacer el cambio de variable de v es bastante positivo para resolver este tipo de integrales y si empiezas a pensar un poco en futuro al final te vas a dar cuenta que todo nos va a quedar escrito en términos de x menos 1 a la quinta potencia entonces vamos a resolver esta integral me queda que a la sexta integral diferencial de 1 es lo mismo que elevado a la 7 entre 7 le sumamos el exponente entonces me queda igual a 7 entre 7 más la integral de 4 veces su quinta diferencial de 1 es igual le sumamos un exponente me queda cuatro veces elevado a la sexta entre 6 y ya todo esto hay que sumarle la constante de integración y bueno esto se puede reducir un poco 4 sextos es lo mismo que dos tercios entonces me queda o elevado las 7 entre 100 más dos tercios de elevado a la sexta más una constante de integración y ahora sí si recordamos que vale igual a x menos 1 podemos sustituir y todo va a quedar en términos de x me queda x menos 1 elevado a la séptima potencia entre 7 más dos tercios de x menos uno elevado a la sexta potencia más una constante de integración y fíjate qué bonito resultado nos quedó porque todo depende de x menos 1 en lugar de quedarnos un polinomio enorme nos queda todo expresado en términos del binomio que tenía la potencia y en lugar de complicarnos la vida resolvimos este problema haciendo una sustitución y una sustitución hacia atrás y obteniendo un resultado que se ve bastante elegante