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Transcripción del video

vamos a introducirnos a la idea de lo que es una ecuación diferencial y como veremos las las ecuaciones diferenciales son súper útiles para modelar y simular muchos fenómenos y para entender cómo es que funcionan pero pero veremos eso mucho más adelante por ahora pensemos en qué es una ecuación diferencial verdad y quizás estoy relacionado con el concepto de ecuación aquí lo interesante es digamos el término diferencial y para poder explicarlo vamos a irnos directamente con un ejemplo digamos que yo tengo que la segunda derivada de una función y más dos veces la derivada de nuestra función que es tres veces nuestra función verdad y esto es una ecuación diferencial es una especie de relación que hay entre las derivadas de una función y la misma función ahora podríamos utilizar también la anotación la anotación digamos de funciones que ya conocemos verdad la segunda derivada de mi función f que depende de x más dos veces la derivada de la función fx es tres veces la función de la que estábamos hablando muy bien o también podríamos utilizar la anotación de la ebn y la anotación de live nos dice la segunda derivada vamos a utilizarlo con la segunda derivada de ye respecto de x ambas veces más dos veces la derivada de con respecto de x tiene que ser tres veces nuestra función ya muy bien y estas son tres formas distintas de expresar esencialmente lo mismo que es una ecuación diferencial verdad déjenme hacer bien está allá de estas tres son exactamente lo mismo y la pregunta interesante es la siguiente podemos realmente encontrar una función tal que al derivar la dos veces y sumarle dos veces su derivada sea tres veces esa función entonces en caso de que podamos encontrar dicha función podemos decir que justamente la solución a la ecuación diferencial justamente una función o podrían ser incluso funciones verdad no necesariamente tiene que ser sólo una como veremos más adelante ahora quizás el concepto más familiar que tenemos relacionado con una ecuación diferencial es la ecuación algebraica y quizás podría decir una ecuación tradicional verdad pero la verdad es que las ecuaciones diferenciales tienen muchas digamos tradición justamente en la historia de las matemáticas verdad así que creo que es más preciso decir una ecuación algebraica muy bien tengo una ecuación algebraica y por ejemplo podríamos pensar en esta es una que digamos ya hemos trabajado mucho x cuadrada más 3 x más 2 igual a 0 en una ecuación cuadrática entonces cuando queremos encontrar las soluciones a una ecuación cuadrática en realidad sabemos que son parejas o más bien tenemos una pareja de números que resuelven es esta ecuación cuadrática verdad de hecho podemos encontrar la de la siguiente forma factorizar y sería cosa de pensar dos números que multiplicados me den 2 y sumados nos den 3 esos son dos 1 verdad esto es igual a 0 entonces de aquí podemos obtener que las soluciones a esta ecuación algebraica es menos 2 o podría ser menos 1 verdad entonces aquí como podemos darnos cuenta las soluciones a esta ecuación algebraica son dos números a diferencia por ejemplo de las ecuaciones diferenciales en donde las soluciones no sólo son números en realidad tenemos todas todas una función que es solución a la ecuación diferencial y ahora vamos a hacerlo un poquito más tangible quiero que que veamos cómo se ve una solución de una ecuación diferencial y también vamos a ver que a menudo podemos encontrar no sólo una podemos encontrar muchas soluciones ok entonces digamos aquí vamos a verificar lo siguiente si nosotros consideramos consideramos la función de uno de x igual a ea la menos 3x esta es una solución a la ecuación diferencial es decir si nosotros sustituimos en ésta igualdad se va a cumplir verdad entonces te invito a que hagas ahorita una pausa cálculo es la primera derivada y la segunda derivada de esta función y que verifiques que en efecto esta igualdad se da entonces suponiendo que ya hiciste toda una pausa y pudiste realizar el problema ahora vamos a hacerlo juntos muy bien calculamos la primera derivada de 1 en este caso pues hay que utilizar la regla de la cadena verdad tenemos que derivar que a la menos 3x con respecto a menos 3 x eso simplemente nos da a la menos 3x y luego derivamos menos 3 x eso nos da simplemente menos 3 verdad y esto fue simplemente usar la regla de la cadena ahora si queremos encontrar la segunda derivada de esa función de 1 volvemos a derivar esto que tenemos arriba y será justamente igual verdad tenemos un menos 3 y al derivar esta expresión digamos saca otro menos 3 que en conjunto nos da 9 que a la menos 3 x verdad y esto sólo fue una práctica de la regla de la cadena ahora bien ya tenemos la función la derivada y la segunda derivada ahora podríamos ver qué pasa así o más bien podríamos verificar que esta igualdad se da entonces tenemos la segunda derivada de nuestra función sería 9 a la menos 3 x y luego sumamos dos veces menos tres era la menos 3 x que en realidad lo podríamos poner como menos 6 al menos tres equis y nosotros queremos ver si eso es igual a tres veces nuestra función que es tres veces a la menos 3 x muy bien y aquí inmediatamente podemos ver que 9 a la menos 3 x menos 6 era la menos 3x son justamente 3 a la menos 3 x verdad y en efecto nos da justamente lo que buscábamos verdad que era 3 a la menos 3x y por lo tanto esta función ya no es una solución de la ecuación diferencial pero eso no significa que sea la única solución verdad y de hecho vamos a ver que puede haber otra por ejemplo la función de 2 de x iguala a la x la exponencial sencilla como la conocemos y podemos ver que su primera derivada es justamente ella misma verdad esa es una de las propiedades fundamentales de la función exponencial ahora también podríamos calcular la segunda derivada de la deie 2 perdón y volvería a hacer a la equis entonces inmediatamente consideramos la segunda derivada que es a la equis más dos veces la primera derivada más dos veces la primera derivada que es a la equis y esto claramente son tres a la equis que es tres veces nuestra función verdad entonces también fue una solución de la ecuación diferencial entonces todo esto fue un muy buen inicio en los próximos vídeos vamos a explorar más sobre todo esto veremos cómo se ven las soluciones de una ecuación diferencial qué clases de soluciones existen y qué técnicas tenemos para poder resolverlas y visualizar las y sobre todo vamos a tener todo un arsenal de herramientas para poder trabajar con ellas