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Soluciones particulares de ecuaciones diferenciales: función exponencial

En este video encontramos f(0) dadas f'(x)=5eˣ y f(7)=40+5e⁷.

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Transcripción del video

tenemos que f de 7 es igual a 45 elevado a la séptima potencia y f prima de x es igual a 5 a la equis y nos preguntan cuánto vale efe de 0 así que para obtener efe de cero lo que vamos a hacer es tomarnos la anti derivada de f prima de x y de ahí vamos a obtener una constante de integración entonces podemos usar la información que nos dan justo aquí que f de 7 es igual a esto lo cual es una expresión bien bueno es una expresión pero realmente es un número no hay variables en esto entonces podemos usarlo para resolver esa constante de integración y después ya tendremos completamente a fx y así vamos a poder utilizar a esa fx para evaluar efe de 0 entonces hagámoslo si f prima de x es igual a 5 a la x entonces fx fx va a ser igual a la anti derivada de esto es igual a la anti derivada 5 elevado a la equis y bueno una propiedad que encuentro interesante de las exponenciales de hecho permítanme primero voy a hacer un paso antes de decirte esa propiedad voy a sacar este 5 afuera de la integral y me va a quedar 5 veces la anti derivada de un elevado a la x de x y una de las propiedades muy interesantes que me parecen de la función exponencial es que la anti derivada de la x es l x y bueno eso porque la derivada de x es x lo que encuentro increíble cada vez que tengo que pensar o manipular la derivada o la anti derivada de la x entonces esto de aquí va a ser exactamente igual que 5 veces elevado a la equis más una constante de integración y lo puedes comprobar sacando la derivada de 5 a la equis más la derivada de 5 e a la equis bueno eso es 5x así que vamos bien y la derivada de c es cero porque es una constante así que no la vamos a ver aquí y llegamos justo a esto ahora qué te parece se utilizó esta información que tengo aquí para determinar el valor de la constante el valor de sem y ya que sepamos quién es él vamos a saber exactamente cuánto es efe de equis y ya que tenemos a fx vamos a evaluarla en cero para obtener la respuesta que estamos buscando así que sabemos que f de 7 déjame ponerlo con este color efe de 7 esto va a ser igual am y bueno vamos a sustituir a x por 7 me va a quedar 5 elevado a la séptima potencia más ce ok pero por otra parte sabemos que f de 7 es esto que tengo aquí es 40 40 + 5 elevado a la séptima potencia así que f de 7 es esta información que tengo aquí y también esto que tengo aquí y ya con esto es bastante sencillo obtener asem porque si eliminamos a 5 y a las 7 de ambos lados voy a obtener que éste va a ser igual a 40 de luz entonces ya podemos escribir de nuevo a efe de x fx va a ser igual a 5m elevado a la x más se pero se vale 40 y ahora sí si queremos obtener el valor df de cero podemos decir que f de cero va a ser igual a cinco elevado a la potencia 0 + 40 pero he elevado la potencia 0 esto es 1 así que me quedarían cinco por uno los cuales 5 + 40 es 45 y ya con esto hemos terminado