Sustitución trigonométrica y cambio de variable juntas (parte 1)

pues bueno en esta ocasión me voy a tomar la siguiente integral esta integral está un poco más complicada que todas las que hemos visto pero va a estar muy entretenido resolverlo y me queda la integral de x cúbica por la raíz de 9 - x cuadrada diferencial de x y lo primero que se nos puede ocurrir es intentar resolver esto por sustituciones y cuando métrica debido a que tenemos adentro de la raíz un 9 - x cuadrada que es lo mismo que 3 al cuadrado menos x cuadrada ya habíamos dicho en el vídeo pasado que todo lo que tenía la forma de a cuadrada - x cuadrada salía de una manera muy sencilla si hacíamos una sustitución trigonométricas que sustitución trigonométricas pues decíamos que x era igual a a veces el seno de teta por lo tanto sustituyendo a x me quedaría que esto es lo mismo que a cuadrada menos a cuadrada seno cuadrado de teta o dicho de otra manera esto es lo mismo que a cuadrada que multiplica a uno menos seno cuadrado de teta y uno menos seno cuadrado de teta era el coseno cuadrado de 30 por lo tanto para esto nos sirve hacer este cambio de variable así que vamos a trabajar con él ya que nos conviene tomar bueno x va a ser tres veces el seno de teta es decir la raíz de nueve que multiplica al seno de teta y bueno si ya tenemos a equis de una vez sería bueno calcular la diferencia de x la diferencial de x va a ser igual a la derivada de tres veces el seno de teta con respecto a teta y de una vez lo vamos a escribir en su forma diferencial por lo tanto despejando a de x me va a quedar lo siguiente tres veces el coche no beteta diferencial de teta tres veces el coche no detectan diferencia del dt está muy bien ya tenemos a x ya tenemos a de x es muy buen momento para empezar a sustituir en esta integral por lo tanto que voy a obtener voy a agarrar y cambiar de color y ahora tengo la integral de x cúbica pero x es lo mismo que tres veces el seno de teta por lo tanto me queda 3 al cubo que es 27 x seno cúbico de teta vamos a hacerlo muy colorido para que no nos vayamos perdiendo en el camino de color azul me queda 3 al cubo que es 27 por el seno cúbico de teta y después tengo esta raíz y para esto me voy a tomar el color anaranjado entonces tengo estos de aquí aquí es la raíz de 9 - x cuadrada es decir de 9 menos nueve veces el seno cuadrado de teta porque x es tres veces el 69 teta nueve menos nueve veces el seno de teta todo esto dentro de la raíz y después por la diferencial de x pero la diferencial de x ya la calculamos es esto que tenemos aquí con un nuevo color esto de aquí es lo mismo que todo esto que acabamos de calcular y me queda que multiplica a tres veces el coste no de teta diferencial de teta muy bien y ahora es momento de simplificar todo esto pero antes de simplificar toda esta expresión lo que quiero hacer es qué va a pasar con esta raíz entonces simplifiquemos lo que tenemos adentro de la raíz me queda 9 factor izado que multiplica a 1 - el seno cuadrado de teta y esto lo mismo que 9 que multiplica al coseno cuadrado de teta recuerden que uno menos el seno cuadrado del tema es el coseno cuadrado de teta y en el vídeo pasado vimos que el coche no cuadrado de teta en este caso es siempre positivo por lo tanto no es necesario poner el valor absoluto y esto me va a quedar simple y sencillamente tres veces el coseno de teta ok entonces esto era la simplificación de esta raíz y me queda simple y sencillamente tres veces el coste no de teta entonces ahora sí voy a simplificar todo 27 por 3 es lo mismo que 81 y 81 por 3 es lo mismo que 3 por una que es 3 3 por 8 24 243 entonces afuera me queda 243 que multiplica al integral y ahora si me queda el seno cúbico voy a tomar otro color el seno cúbico de teta y después me queda el coche no detecta que multiplica el coste de 9 t tan diferencial de teta eso es el coseno cuadrado de teta diferencial de teta todo esto ya lo simplifica y al final tengo que poner la diferencia de teta entonces todo esto multiplicado por de teta y ahora tenemos una nueva integral la cual parece que tiene solución con una sustitución y sin embargo resolver esta integral no es tan fácil tampoco es una integral que salga de volada pero en esta ocasión lo que quiero enseñarles es cómo se pueden resolver también las integrales de este estilo estas son las integrales que tienen potencias en las funciones trigonométricas y más aún cuando tenemos que una de estas dos funciones trigonométricas tienen una potencia impar y la otra parte entonces suena muy lógico que esto lo podamos escribir de la siguiente manera para poder resolver este problema esto es lo mismo que 243 que multiplica a la integral del seno cúbico pero el seno cúbico lo voy a desmenuzar en dos partes primero me va a quedarse en un cuadrado de teta y después voy a poner otra vez el coseno cuadrado de teta y al final voy a poner el seno que me falta seno cuadrado para el seno público me falta un seno y entonces al final voy a poner el seno de teta diferencial de teta quiero que vayan viendo cómo resuelvo esta integral para que ustedes no tengan problema alguno cuando se topen este tipo de integrales la idea es ahora escribir el seno cuadrado de teta como una función del coste no cuadrado de teta utilizando la identidad trigonométricas lo que voy a querer es escribir todo esta integral con una función del coseno beteta para poder hacer mi cambio de variable y igual al coche no de teta y es que dese cuenta que es justa esta idea tras la que boyle voy a hacer este cambio de variable en un futuro entonces vamos a hacerlo me queda 243 veces la integral de uno menos coseno cuadrado de teta esto es el seno cuadrado de teta ya su vez esto multiplica al coseno cuadrado de teta y esto a su vez multiplica al 09 teta diferencial de teta y tal vez te estés preguntando para que todo este lío y bueno es que la idea que hay detrás de todo esto es que la derivada del coche no de teta es casi el seno de teta y por eso estoy separando el seno de teta para ella tener una función del coste no de teta y después tener la derivada del coseno por lo tanto todo esto va a ser la función que tiene que ver con el coste no beteta y todo esto que está aquí va a tener que ver con la derivada del coste de teta es justo en este momento cuando se me ocurre la idea de que puedo usar un cambio de variable y me cambio de variable como más o menos les vengo comentando va a ser o igual al coseno de teta y ya con esto vamos a ver si salen bien las cuentas o es igual al coche 9 teta y las diferencial de v es igual al menos 69 teta diferencial de teta qué es si este que tenemos aquí lo único que me falta es multiplicarlo por menos y se aumenta un menos entonces también tengo que poner este menos afuera de la integral porque menos x menos me da más entonces aquí ya tengo la diferencial de eeuu y voy a sustituir a como el concepto de teta y esto ya me va a quedar mucho más sencillo de resolver esto es lo mismo que menos 243 que multiplica al integral de 1 - coseno cuadrado de teta pero el cociente de teta es su y por lo tanto se me queda uno menos cuadrada que multiplica el coseno cuadrado de teta es decir un cuadrado y después que multiplica al menos 100 9 teta diferencial de teta que como tenemos aquí arriba esto es la diferencia al de eeuu y esta integral ya es muy sencilla de resolver es una integral que sale en dos pasos realmente trabaje todo esto para que me quede una integral muy sencilla date cuenta que resolver está integral es resolver o integral de un polinomio de 1 es decir vamos a utilizar la anti derivada de la regla de la potencia y vamos a resolverla esto me queda menos 243 de la integral y ahora voy a distribuir lado cuadrada me queda cuadrada menos 1 4a todo esto diferencial de 1 lo único que haciendo distribuirla o cuadrada o cuadrada por 1 me queda un cuadrado o cuadrada por un cuadrado me queda un cuarto y todo esto que multiplica la diferencia de 1 y esta integral ya sale en un solo paso esto es lo mismo que menos 243 de un pública entre 3 menos quinta entre 5 que es la integral de cuadrada y cuarta respectivamente y después le sumamos una constante integración y ahora se multiplicó todo esto por el menos 243 lo único que va a pasar es que el primero se va a volver negativo y el segundo se va a volver positivo por lo tanto voy a poner el 243 todavía factor izado me va a quedar 243 y el 243 va a multiplicar a un quinta entre 5 ya esto le vamos a restar cúbica entre 3 lo único que hice fue cambiar los signos y después le sumamos la constante integración y ya está ya está en términos de 1 lo que voy a ver en el siguiente vídeo es precisamente pasar todo esto a términos de x y para eso voy a tener que hacer la sustitución hacia atrás varias veces recuerda que la x es la variable original es decir el menú va a hacer pasar términos de eeuu en términos y después términos de theta en términos de x y así obtener la solución de esta integral