Sustitución trigonométrica y cambio de variable juntas (parte 2)

fue en el vídeo pasado en el cual resolvimos esta integral y para resolver esta integral lo primero que hicimos fue este cambio de variable x es igual a tres veces el seno de teta y haciendo este cambio de variable llegamos a esta integral que tenemos aquí la cual salía con una sustitución usando un poquito de trigonometría dijimos que era igual al coseno de teta y haciendo este cambio de variable llegamos a una integral muy sencilla llegamos a esta integral de aquí la cual tenía como solución esto que obtuvimos hasta acá abajo esta es la solución de la integral con respecto a b pero la integral original estaba en términos de x por lo tanto lo que vamos a hacer en este vídeo es pasar todo a términos de x y para esto tengo que hacer la sustitución hacia atrás y el primer cambio de variable que yo hice era igual al coste no de teta por lo tanto podemos poner aquí igual al coste no beteta y después escribir todo en términos de x sin embargo x está en términos del seno de teta ahora lo que voy a querer hacer es escribir lo que tiene que ver con el cociente de teta en términos del seno de teta de hecho aquí está nuestro cambio de variable decía que x es lo mismo que es donde lo pongo lo voy a poner yo creo que aquí acaba aquí x es igual a tres veces el seno del ángulo teta el cambio de variable de color magenta me decía que x es igual a tres veces el seno de teta ya que voy a despejar un poquito al seno de teta y me va a quedar que x entre 3 es lo mismo que el seno de teta y bueno dense cuenta que está escrito en términos del coste no de teta mientras que nosotros tenemos a x en términos del seno de teta estaría muy padre estaría genial que nosotros podríamos escribir el coche no como algo que tenga que ver con el seno de teta por lo tanto vamos a intentar hacerlo es igual al coste 9 teta y si nosotros usamos la identidad de econométrica básica me queda que el concepto de teta es lo mismo que la raíz de uno menos el seno cuadrado de teta uno menos el seno cuadrado de teta esto utilizando la identidad trigonométricas básica la pitagórica y esto es lo mismo que la raíz de uno menos el seno cuadrado de teta pero el seno es x entre tres por lo tanto me quedaría uno menos x entre tres al cuadrado raíz esto es lo que vale y ya está lo único que tendremos que hacer es reemplazar en esta expresión por esta expresión que tenemos aquí que está en términos de x bueno esta es la primera forma de resolver esta sustitución hacia atrás sin embargo en el resto del vídeo lo que voy a intentar hacer es hacer un método alternativo para hacer este cambio de variable la idea es escribir esto de una manera mucho más sencilla y que quede todo primero en términos de x y después de una manera mucho más elegante y bueno para hacer esto voy a dibujar un triángulo rectángulo que cumpla que tenga un ángulo llamado theta si este ángulo éste está entonces el 100 9 tetas el cateto opuesto entre la hipotenusa y esto me quedaría así esto es el seno de teta y bueno quién va a ser el coste de 9 teta bueno el coste de tam está definido por el cateto adyacente entre la hipotenusa pero este cateto adyacente lo voy a obtener con el teorema de pitágoras el cateto adyacente es igual a la raíz de la hipotenusa elevada al cuadrado es decir 3 al cuadrado que es 9 menos el otro cateto elevado al cuadrado es decir menos x cuadrada tenemos aquí el valor del cateto adyacente por lo tanto quien va a ser el coste no detecta el coste no detecta es el cateto decente que es la raíz de 9 - x cuadrada esto entre la hipotenusa que es 3 y esto lo podemos escribir de la siguiente manera esto es lo mismo que un tercio que multiplica a la raíz de 9 - x cuadrada y si yo quisiera meter este un tercio adentro de la raíz entonces tengo que elevarlo al cuadrado para poderlo meter adentro de la raíz por lo tanto esta expresión va a ser igual a la raíz de un noveno que multiplica a 9 - x cuadrada este 1 b no es lo mismo que un tercio adentro de mi raíz lo eleve al cuadrado y todo esto lo estoy haciendo para que me quede lo siguiente vamos a seguir haciendo todas estas que brillan en la parte de abajo y por lo tanto me va a quedar un noveno por 9 que es lo mismo que 1 - x cuadrada entre 9 que es lo mismo que x cuadrada por un noveno y esto es justo lo que tenemos aquí arriba por lo tanto hemos llegado a la misma expresión x entre 3 elevado al cuadrado es lo mismo que x cuadrada entre 9 y hemos hecho justo lo mismo y llegamos al mismo resultado x tanto lo que voy a hacer a continuación es sustituir av y ahora si está en términos de x bueno pero antes voy a escribir esto de la siguiente manera esta raíz es lo mismo que 1 - x cuadrado entre 9 elevado a la potencia un medio recuerden que un medio y la raíz es lo mismo por lo tanto ahora sí voy a sustituir a un y en lugar de poner aún voy a poner toda esta expresión de x que tengo aquí entonces me queda 243 que multiplica a elevado a la quinta potencia que es lo mismo que 1 - x cuadrado entre 9 todo esto elevado a la un medio por 5 es decir 5 medios si yo elevó esta expresión que tengo aquí a la quinta me quedan cinco medios y todo esto dividido entre 5 y después tengo 1 - x cuadra de entre 9 que está elevado a la 3 medios esta expresión que está en un medio elevado al cubo es lo mismo que tres medios entre 3 y a todo esto le voy a aumentar una constante de integración y por fin lo tenemos aquí ya tenemos la solución en términos de x y para esto lo que tuve que hacer fue primero una sustitución trigonométricas y después normal hicimos una sustitución de bueno métrica una sustitución normal y después hicimos las sustituciones hacia atrás para escribir todo en términos de x y así obtener el resultado final