Repaso de integración por partes

La integración por partes es un método para obtener integrales de productos:

o de manera más compacta:

Podemos usar este método, que se puede considerar como el inverso de la "regla del producto," al considerar uno de los dos factores como la derivada de otra función.

Obtengamos, por ejemplo, la integral indefinida $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. Para hacer esto, hagamos $u = x$u, equals, x and $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$u=x$u, equals, x significa que $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x significa que $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

¡Ahora integramos por partes!

¡Recuerda que siempre puedes revisar tu trabajo si derivas tu resultado!

Obtengamos, por ejemplo, la integral definida $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. Para hacer eso, hacemos $u = x$u, equals, x y $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:

$u=x$u, equals, x significa que $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x significa que $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

Ahora integramos por partes: