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Introducción a la integración por partes

Al ver la regla del producto para derivadas en reversa, obtenemos una herramienta de integración poderosa. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es revisar la regla del producto que tú quizás viste hace algún tiempo para obtener la regla de integración por partes que puede ser vista como el inversa de la regla el producto integración por partes consideremos entonces una función formada por el producto de dos funciones la función fx por la función de x y vamos a derivar este producto vamos a sacar la derivada con respecto a x vamos acá la diva con respecto a x de fx porque x esto que es igual esto es igual aplicando la regla del producto a la derivada del primero por el segundo derivada de f dejar poner lo mejor en azul efe prima es en ese azul va a ser igual entonces f prima de x la derivada del primero por x es en ese mismo color déjame cambiarlo por gd x más la primera más fx por la derivada de la segunda más fx por la derivada de gx por g prima de x hemos aplicado la regla del producto aquí la derivada del primero por el segundo más el segundo por la eba del primero ok vamos a tomar la anti derivada a ambos lados de esta expresión qué pasa si tomamos la anti derivada de la derivada con respecto x de fx porque x pues es directamente fx gx por el momento nos olvidamos de la constante integración y esto que va a ser igual bueno vamos a tomar la anti derivada del lado derecho esto va a ser la anti derivada de f prima de x por gt x de x más la anti derivada de fx x que prima de x y por supuesto de equis queremos ahora despejar esta expresión queremos despejar esta anti derivada y para eso tenemos que restar esta expresión de aquí vamos a restar a ambos lados esta expresión de aquí entonces que tenemos del lado izquierdo tenemos fx por de x menos menos la anti derivada de f prima de x déjame ponerlo en rosa en el rosa que tiene originalmente por gd x de equis y esto va a ser igual lo que queríamos despejar anti derivada de fx por prima de x de x vamos a intercambiar ambos lados de la igualdad para que quede clara la fórmula voy a copiar copiar y pegar ok lado izquierdo quedaría esto acá y esto también voy a copiar y pegar del lado derecho y aquí lo tenemos esta es la fórmula de integración por partes voy a ponerle su marco como aparece en los libros de texto para resaltar esta fórmula de integración por partes y esta fórmula establece que si vas a integrar el producto de una función por la derivada de otra función esto va a ser igual a todo esto y tú podrías decir bueno esto no es muy útil primero tienes que identificar una función y la derivada otra función y luego aquí tenemos que encontrar otra anti derivada pero vamos a ver en futuros vídeos que esta es una regla que nos va a ser muy útil para encontrar anti derivadas de cierto tipo de funciones