Integración por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx

veamos cómo aplicar la fórmula de integración por partes para encontrar la anti derivada de la x coseno de x de x y recuerda que cuando usamos integración por partes se trata de encontrar cuál de estas funciones de este producto de funciones al derivarse hacia la expresión más simple pues ni a la x ni coseno de x al tomar su derivada se hace más simple ni tampoco cuando tomo su anti derivada se hace más compleja la expresión en este caso es como echar un volado a cuál asignas fx ya cuál que prima de x de hecho no importa cuál es tu elección siempre llegas a la misma solución entonces asignemos como f x hacia la equis y como g prima de x a coseno de x vamos a escribirlo acá abajo tenemos que fx es igual ayala x importante prima de x es igual a yale x la deriva con respecto a x de a la x es la x por otro lado g prima de x es igual a con seno de x y la anti derivada de x va a ser igual a la anti derivada de coseno de x que es seno de x gx es igual a seno de x apliquemos entonces integración por partes esto va a ser igual a fx por gd x fx que es la x por gd x que es seno de x y ala x por seno de x y esto - menos la integral de f prima de x f prima de x es a la x y a la x x gx que es seno de x integral de a la x seno de x y todo esto de x no parece que hayan mejorado las cosas sólo tenemos un integral en términos de seno de x pero bueno veamos qué pasa al resolver esta integral vamos a resolver este integral también por partes lo voy a hacer acá abajo tenemos que la integral de a la x seno de x de equis y esto que va a ser igual bueno vamos a asignar vamos a asignar también como fx a la equis es un integral diferente pero bueno aquí también coincide que fx es igual a yale x con lo cual f prima de x es igual a ya la equis y entonces gdx gx es igual a seno de x pero aquí aquí tengo un error porque lo que necesitamos aquí es que prima de xy déjame corregir esto déjame corregir esto lo que tenemos aquí es que prima de x prima de x es igual a seno de x y por lo cual gdx es igual a menos coseno de x la derivada de coseno de x es menos seno de x la deriva de menos coseno de x es seno de x vamos a aplicar entonces la fórmula de integración por partes esto es igual entonces a fx porque de x es decir a la x x menos coseno de x podemos mejor poner el signo menos por delante sería menos que a la x por coseno de x-men o sea la x coseno de x y esto menos la integral de f prima de x por gdx efe prima de x es a la x ya la x x - coseno de x a la x x menos coseno de x dentro el integral voy a escribir coseno de xy el signo menos lo voy a sacar del integral menos por menos es más por lo cual es positivo el signo y por supuesto tenemos de equis para cerrar la integral y aquí podrías decir oye sal no hemos hecho ningún progreso esta integral está en términos del integral original estamos como dando vueltas aquí tenemos ya el x coseno de x el original era de a la x coseno de x estamos dando vueltas al hagamos algo que es interesante sustituyamos esto de aquí sustituyamos esto de aquí déjame indicarlo de otra manera vamos a sustituir esta integral que tenemos aquí aquí donde ya la teníamos originalmente a ver déjame ver cómo puede indicar esto la lista mira esto que tenemos aquí que es el resultado de la integral lo vamos a sustituir aquí en la expresión original y veamos qué es lo que sucede que tenemos entonces del lado izquierdo es la integral original la anti derivada que nos pedía la integral de a la x x de x y esto es igual a ea la x seno de x y a la equis x y menos vamos a restarle esta expresión vamos a restar esta expresión que obtuvimos acá entonces al restar menos a la equis coseno de x tenemos que hay que sumarle más que a la equis coseno de x y a la x x y luego al restarle este integral tenemos que va a ser menos menos la integral de a la x - la integral de a la x con seno de x de x ahora esto es interesante que hemos hecho fíjate encontramos esta integral la encontramos por partes aquí abajo y luego los sustituimos acá arriba los restamos de a la equis seno de x y obtuvimos esta expresión que tenemos acá abajo que observa que obtuvimos obtuvimos una ecuación donde aparece dos veces la integral que nos están pidiendo de hecho podemos asignarle una variable esta integral y tendríamos una ecuación en esa variable vamos entonces a despejar la integral sumando el lado izquierdo la integral de a la x coseno de xx y también sumando el lado derecho a la integral de a la x x de x que resulta del lado izquierdo va a ser dos veces la integral de a la x coseno de x de x del lado derecho sería este término la suma de estos dos términos voy a copiar y pegar voy a copiar y pegar esto muy bien para que finalmente esta parte estos dos términos se hace en cero y ya podemos despejar entonces la integral de a la x coseno de equis de x vamos a dividir ambos lados de esta ecuación de hecho es una ecuación vamos a dividir ambos lados de esta ecuación entre dos del lado izquierdo al divididos entre dos se hace uno y nos queda tan solo la anti derivada de a la x coseno de x de x y del lado derecho dividiendo entre 2 sería el ax seno de x más ya la x coseno de x sobre 2 pero ojo lo que estamos obteniendo aquí es una de tantas anti derivadas sería realmente una pena después de todo el proceso que hicimos de integrar dos veces por partes de sustituir una de esas integrales en la expresión original tenemos que recordar que requerimos la constante integración ce para obtener la anti derivada general así que si tú derivas esta expresión sin importar el valor de la constante vas a obtener que a la x coseno de x de hecho viéndolo bien el resultado es sumamente elegante