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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que quiero calcular en este vídeo es el área debajo de la curva igual a 1 entre x cuadrada desde que x es igual a 1 el límite inferior es x es igual a 1 y permitiendo que x crezca indefinidamente es decir cuando x tiende a infinito así que lo que quiero calcular es el valor total de esta área y para calcular esto vamos a establecer una integral impropia una integral impropia cuyo límite inferior es 1 y como x crece indefinidamente su límite superior es infinito la integral de uno infinito de la función uno entre x cuadrada de x hagamos patente esto esta de aquí es una integral integral impropia un integral impropia y como la calculamos bueno por definición esto es igual al límite al límite cuando n tiene infinito del integral de uno hasta n de 1 / x cuadrada de x lo cual está perfecto ya sabemos cómo evaluar esto es una integral definida con el límite superior o igual a n y sabemos también calcular límites tomamos el límite cuando entiende infinito calculemos entonces esto de aquí vamos a aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo es decir tenemos que calcular primero la anti derivada de uno entre x cuadrada bueno escribamos primero el límite límite cuando n tiene infinito de y ahora sí vamos a aplicar el segundo teoría fundamental del cálculo de la anti derivada de una entre x cuadrada la anti derivada de x a la menos 2 es menos x a la menos 1 entonces esto hacer el límite cuando entiende infinito de menos x a la menos 1 o mejor vamos a escribirlo como menos 1 sobre x menos 1 sobre x evaluada nn y evaluada en 1 y esto va a ser igual entonces esto es igual al límite cuando n tiene infinito vamos a evaluar la anti derivada en los límites de integración tenemos que menos 1 / x evaluado en n es menos 1 sobre n esto menos lo que resulte evaluar en el límite inferior menos 1 / x evaluado en 1 es menos 1 muy bien vamos ahora a tomar el límite esto que tenemos aquí no hemos tomado el límite pues esta expresión es lo mismo que esta expresión vamos ahora a tomar el límite esto va a ser igual al límite cuando n tiende infinito y que tenemos aquí aquí tenemos menos y menos nos da más entonces es menos 1 entre n 1 lo cual podemos escribir como 1 - 1 entre n y ahora sí vamos a tomar el límite el límite cuando entiende infinito esta expresión existe para nuestra fortuna aquí tenemos 1 entre n cuando en es cada vez más grande 1 entre n se hace cada vez más chico el límite cuando n tiende a infinito de 1 entre en es igual a cero por lo cual el límite de toda la expresión es igual a 1 lo cual es realmente sorprendente tenemos esta región que no tiene límite superior indefinidamente hacia la derecha mientras que hemos encontrado que el valor del área de la región es exactamente igual es precisamente igual a 1 en este caso dado que el integral impropia resultó en un número tuvo un valor preciso lo pudimos encontrar el límite cuando n tiende infinito decimos que esta integral es una integral impropia convergente integral impropia convergente si por alguna razón esto no estuviera acotado no pudiéramos encontrar un valor finito de este límite diríamos que la integral impropia es divergente pero en este caso encontramos algo sorprendente esta área vale exactamente 1