Encontrar la derivada con el teorema fundamental del cálculo: x está en ambos límites de integración

aquí tenemos la función fx igual a la integral de x ax al cuadrado de coseno de t entre t dt y queremos derivar la cómo le podemos hacer pues parece ser que va a tener que ver con el teorema fundamental del cálculo pero hay que ser un poco cuidadosos porque en el teorema fundamental tenemos un resultado para integrales definidas donde el límite superior está en función de x pero aquí ambos límites tanto el de arriba como el de abajo están en función de x o sea antes ya ya platicamos cómo hacerle para lidiar con este x cuadrada si aquí tuviéramos una constante aplicamos la regla de la cadena y todos nos salía muy bien pero ahora necesitamos un truco adicional para para poder pasar esta expresión a algo que ya sepamos responder como ya hacemos para cambiar esto pues vamos a ganar un poquito de intuición primero y vamos a graficar entonces de este lado déjame poner el eje i estoy acá va a ser el eje el eje y de este otro lado voy a poner el eje t el eje y a esta función que estamos integrando la de aquí adentro déjame llamarle ft efe dt de este modo ftcv de alguna forma por acá no sé supongamos que se ve más o menos algo de este estilo claro o sea seguro no se ve así porque coseno hace otras cosas pero ahorita es muy muy en general vale nada más para agarrar la intuición entonces de esta de acá efe dt y igual a efe dt y lo que queremos aquí es determinar el área entre xy x al cuadrado otra vez como las cosas están más o menos generales pues x puede quedar antes de x al cuadrado o después pero ahorita nada más para fijar ideas vamos a pensar que x queda antes de x al cuadrado entonces por acá queda x déjame marcar como sube más o menos algo así quizás debería escribir un poco más grande x verdad a esta x y por acá en algún otro lado tenemos x al cuadrado lo voy a quitar con este color azul x al cuadrado muy bien entonces tenemos más o menos algo de este estilo entonces esta integral lo que nos pide hacer encontrar el área debajo de la curva fcc / x y x al cuadrado o sea esta área que voy a marcar en color blanco esta área de acá vale esta de acá entonces el truco que vamos a hacer el truco para encontrar esta área es tomarnos un valor intermedio de ese algo más o menos por este por este lugar y vamos a expresar esta área que queremos en términos de dos áreas va en términos del área de la izquierda que voy a pintar en color verde claro el área de la izquierda y el área de la derecha que corresponde a este color azul y está a esta área de acá entonces ese de ahí va a ser el truco y vas a ver que va a salir muy bonito nada más que tenemos que escribirlo con calma verdad entonces vamos a pasarnos para acá para escribir cómo sería esto entonces nos quedaría igual a igual a y como expresamos esto de acá pues lo partimos en la integral de x ac va entonces primero nos queda la integral la integral de x ac de coseno dt voy a ponerle se dejó seno de coseno dt dividido entre t de t y a eso tenemos que sumarle tenemos que sumarle la de la derecha que va de c a equis al cuadrado entonces nos queda la integral la integral me quedan medio feos y símbolos de integral a veces desea x al cuadrado de jose no de t / / t de t muy bien entonces ya tenemos nuestra función fx partida en estos dos cachos ahora sí vamos a derivar la déjame ponerle por acá efe prima de x voy a reescribir la la s mayúscula pero ahora derivada f prima de x es igual a y ahora sí ahora sí vamos a derivar utilizando el teorema fundamental y las cosas que ya platicamos antes mira la de acá de la derecha cuando la tengamos que derivar pues es el teorema fundamental con la regla de la cadena y la laca de la izquierda también ya practicamos cómo hacer la verdad tenemos que pasar esta x para arriba y ésta se para abajo y ya dijimos que para eso simplemente hay que intercambiar el límite superior y el inferior y multiplicar por un signo menos como nos quedarían nos quedaría a ver aquí intercambiamos los límites nos quedan menos y el teorema fundamental nos da coseno de equis entre x entonces sería menos coseno de x / / / x y luego hay que sumar la derivada de este lado la derivada de ese lado se hace con teorema fundamental también pero ahora aplicando la regla de la cadena entonces es la derivada de lo de afuera que sería coseno de x / x pero evaluada en en x al cuadrado en ese entonces sería más más coseno de x al cuadrado dividido entre x al cuadrado entre quizá al cuadrado pero luego multiplicado por la derivada de lo de adentro que en este caso sería la derivada de x al cuadrado con respecto a x entonces es multiplicar por 2 x y básicamente ya terminamos nada más déjame déjame reescribir esto para que sea más bonito ya lo voy a poner todo en color amarillo entonces cómo se simplificaría estoy aquí no le podemos hacer gran cosa nos queda x dividido entre x y luego aquí está x se cancela con esta x cuadrada y abajo nos queda x entonces sería más o seno de x cuadrada coseno de x cuadrada el 2 lo voy a poner por acá va y tengo que dividir entre x dividimos entre x ella bueno ya casi está nada más déjame juntar las fracciones para que no se vea tan feo que esté separado el denominador entonces nos quedaría todo dividido entre x yo voy a poner primero el positivo para que se vea más bonito entonces nos quedaría dos veces coseno de x al cuadrado ya eso tenemos que restarle coseno de x y con esto terminamos