Encontrar la derivada con el teorema fundamental del cálculo: la regla de la cadena

digamos que tenemos la función f mayúscula tx que vamos a definir como la integral definida de 1 al cenote x este es un límite superior interesante de 2 t menos 1 y por supuesto dt y tenemos curiosidad de tratar de encontrar cuál es el valor de f mayúscula prima de x así que pausa el vídeo e intenta encontrarla muy bien tal vez algunos de ustedes se sienten intimidados por la noción de que en lugar de tener a x como el límite superior tenemos al seno de x si sólo tuviera a x podríamos usar el teorema fundamental del cálculo vamos a recordarlo si tengo una función llamémosla htx definida como la integral definida de 1 a x de 2 t menos 1 dt sabemos por el teorema fundamental del cálculo que h prima de x simplemente será esta función interna donde x reemplaza a t es decir 2 x menos 1 bastante sencillo pero la integral inicial no es tan sencilla en lugar de tener como límite superior a x tenemos seno de x así que una forma de resolverla es si definimos una nueva función gtx igual al seno de x entonces la función f mayúscula se puede expresar como un f mayúscula de x es lo mismo que h de y cada vez que veamos a x la reemplazamos con seno de x es decir h de g de x puedes ver a gd x justo acá arriba reemplazamos a x con que de x en esta expresión entonces obtenemos htc de x y eso es f mayúscula de x ahora porque hago todo esto bueno esto podría hacerte pensar en la regla de la cadena porque si esto es cierto entonces significa que f mayúscula prima de x es igual a h prima deje de x por g prima de x entonces cuál es el resultado bueno conocemos cuánto vale h prima de x así que esta parte de aquí será am cada vez que veamos a x en htx la reemplazaremos por gd x por lo tanto quedará 2 por el seno de x y después menos 1 esto es h prima deje de x y ahora a qué equivale g prima de x bueno que prima de x es la derivada del seno tx que es el coste de x así que esta parte de aquí será co se note y podemos seguir podemos tratar de simplificar un poco todo esto o intentar escribirlo de distintas maneras pero ya lo tienes tal vez algunos de ustedes piensen que podremos evaluar solo la anti derivada sustituirla en seno de x y en 1 y encontrar la diferencia después realizar la derivada del resultado y encontrar a efe prima de x eso funcionaría en esta situación donde es sencillo resolver la anti derivada pero la técnica que acabo de mostrarte es muy útil para cualquier función interna en la cual podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo es decir una función que sea continua en el intervalo dado por esos límites de integración pero habrá casos donde la anti derivada de esta función interna no sea sencilla de resolver o donde los límites de integración no sean fáciles de evaluar para después encontrar la diferencia y realizar la derivada este resultó ser una situación en donde podrías haberlo hecho de esa manera pero ya lo tienes un poco de una técnica donde podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena en el mismo ejercicio