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El teorema fundamental del cálculo y funciones de acumulación

Transcripción del video

supongamos que tenemos una función continua efe en un intervalo a como b entonces f es continua continua continua en el intervalo a coma de agua que déjame dibujar una gráfica rápidamente para ver cómo se vería entonces por acá tenemos el eje llegué acá déjame ponerle que es el eje que sale después voy a utilizar la equis para otra cosa entonces no quiero usar la horita entonces vamos a poner que por aquí va la gráfica algo más o menos de ese estilo de modo que esto de aquí esta gráfica corresponde a ye ye igual a efe dt bueno sabemos que éste es continua en la ave así que déjame marcar estos puntos digamos por acá a este le voy a llamar a y déjame poner una línea pues así como que punteada más o menos y por otro lado por acá esta verdad ve también una línea punteada hasta ahorita no ha hecho gran cosa simplemente grafica una función continuada com ave pero imagínate que ahora queremos encontrar una expresión que nos dé el área que está por debajo de esta función entre a y un cierto punto x en el intervalo pues bueno esto tampoco es nada nuevo verdad ya hemos estado platicando en los vídeos pasados que esto tiene muchísimo que ver con una integral de hecho es la definición que hemos estado manejando de integral entonces al intentar determinar esto de acá verdad bueno para encontrar esta área lo que tenemos que hacer es encontrar la integral de x ahorita lo pongo df de t de t entonces le pongo de a ax muy bien pero ve esta expresión de acá pues funciona para cualquier valor de x entre a y b le voy a poner aquí que funciona para x en el intervalo el intervalo acabe le pongo a coma ve muy bien entonces esto que nos sugiere bueno ya que es una expresión que funciona para muchos valores de x pues vamos a llamarla a esta de acá una cierta función entonces a esta expresión le vamos a llamar f grandota de x va entonces lo que estamos haciendo es pensar que vamos a ir variando la equis y eso nos da algunos valor y con estos valores podemos construir una función entonces efe grandota de x nos da el área entre a y x vale ok hasta ahorita no he dicho nada pues demasiado increíble pero de lo que te quiero platicar en este vídeo es del teorema fundamental del cálculo teorema fundamental fundamental mental de él muy bien y que dice este teorema fundamental del cálculo que suena tan importante pues dice una vez que tomamos está efe grandota de equis y la intentamos derivar o si así si queremos encontrar la derivada de f con respecto a equis o bien cambiando efe por lo que vale o sea si queremos encontrar la derivada con respecto a x de esta expresión de acá déjame la escribo de la integral de f de t de t de a a b de a x perdón de a a equis o sea si queremos derivar efe grandota o si queremos derivar esto lo único que tenemos que hacer es poner efe de hecho entonces que la derivada es igual a efe de x muy bien esto ya que es un resultado padrísimo sale y es súper importante seguro te has de estar preguntando por qué se llama fundamental que es lo que es es tan fundamental en este resultado de acá déjame meterlo en una caja y lo que sucede es que este teorema fundamental del cálculo pues ve número uno déjame ponerlo aquí número uno nos dice que cualquier función continua cualquier función continua función continua continua efe tiene anti derivada tiene anti derivada anti derivada efe grandota y esto es un hecho importante verdad esto está padre por sí mismo ese es el punto número uno y bueno además nos dice quién es la anti derivada pero lo que es más impresionante todavía es que este teorema fundamental del cálculo relaciona dos conceptos súper importantes hasta ahorita la integral hemos estado pensando como un área verdad como el área de una región y la derivada como una pendiente pero este teorema fundamental del cálculo relaciona esos dos conceptos de hecho es lo que nos justifica este para llamar a una integral una anti derivada entonces punto número 2 establece una conexión una conexión entre derivadas entre derivadas derivadas e integrales e integrales eso está súper padre verdad derivar a integrar son dos conceptos muy importantes en cálculo y por eso es el teorema fundamental ok ahora te has de estar preguntando ok bueno aquí tenemos el teorema fundamental del cálculo pero cómo le hago para utilizarlo entonces vamos a hacer esto ahorita si después platicaremos de la intuición que está detrás pero ahorita no voy a ver muy práctico y básicamente te voy a mostrar un ejemplo de cómo utilizar esto digamos en un contexto de clase entonces supongamos que nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral ese signo quedó muy feo de la integral de coseno cuadrado bueno de la integral de pi tengo que ponerle extremos porque es integral definirá verdad entonces nos piden derivar y con respecto a x la integral de ti a x de coseno cuadrado de t / / / no sea algo bien feo logaritmo natural dt menos raíz de t si una cosa espeluznante va de t dt bueno aunque esta cosa parezca espeluznante pues estoy acá es una función de x tiene mucho que ver con esta verdad de hecho es un caso particular donde la avale pi y la ft es esta expresión entonces lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es que esto es bien fácil de derivar simplemente lo que está aquí adentro de hecho se puede ver verdad simplemente es digamos que hacer coincidir los patrones esto de aquí adentro de la fdp entonces eso hay que cambiarlo por una fx entonces los lugares donde hay te lo cambiamos por equis entonces derivar es facilísimo esto simplemente es coseno cuadrado de equis josé no cuadrado de x dividido entre logaritmo natural de x menos raíz de x va entonces pues básicamente fue encontrar el patrón y esto si acaso es un truco que se utiliza muchísimo en competencias de cálculo digamos son de estos problemas que tienen transita que parece ser que tienes que integrar esta cosa y luego derivarla pero no simplemente lo que quieren es ver si te acuerdas del teorema fundamental del cálculo para entonces simplemente para resolver estos problemas tenemos que encontrar quienes de pdte y que tendría que ser fx déjame escribir eso por qué te ayuda un poco para cuando lo intentes hacer tú entonces en este ejemplo de acá esta expresión esta expresión lo que está adentro de la integral es ft step y es simplemente a y esta expresión de acá esta expresión sería f de x era una cosa padres que aquí a la derecha pues no no pintó a entonces realmente no dependió del extremo inferior sino únicamente de que esto es una función del extremo superior ok esto está padrísimo le vamos a dejar hasta aquí pero en los siguientes vídeos vamos a hablar un poquito acerca de la intuición detrás de esto de por qué pues será cierto también practicaremos algunos ejemplos más e incluso tal vez veamos una prueba de este resultado súper fundamental