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Contenido principal

Intervalos postivos y negativos de polinomios

Aprende acerca de la relación entre los ceros de un polinomio y los intervalos en los que es positivo o negativo.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Los ceros de un polinomio f corresponden a las intersecciones con el eje x de la gráfica de y=f(x).
Por ejemplo, consideremos f(x)=(x+3)(x1)2. Como los ceros de la función f son 3 y 1, la gráfica de y=f(x) tiene intersecciones con el eje x en (3,0) y (1,0).
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo Ceros de polinomios.

Lo que aprenderás en esta lección

Aunque las Intersecciones con el eje x son una característica importante de la gráfica de una función, necesitamos algo más para producir un buen bosquejo.
Saber el signo de un polinomio entre dos ceros puede ayudarnos a llenar los huecos.
En este artículo aprenderemos cómo determinar los intervalos en los que un polinomio es positivo o negativo, y cómo conectar eso con la gráfica.

Intervalos positivos y negativos

El signo de un polinomio entre cualesquiera dos ceros consecutivos es siempre positivo o siempre negativo .
Por ejemplo, considera la gráfica de la función f(x)=(x+1)(x1)(x3).
De la gráfica vemos que f(x) es siempre ...
  • ...negativa cuando <x<1.
  • ...positiva cuando 1<x<1.
  • ...negativa cuando 1<x<3.
  • ...positiva cuando 3<x<.
Sin embargo, no es necesario que una función polinomial cambie de signo entre ceros.
Por ejemplo, considera la gráfica de la función g(x)=x(x+2)2.
De la gráfica vemos que g(x) es siempre ...
  • ...negativa cuando <x<2.
  • ...negativa cuando 2<x<0.
  • ...positiva cuando 0<x<.
Observa que g(x) no cambia signo cerca de x=2.

Determinar intervalos positivos y negativos de polinomios

Encontremos los intervalos en los que f(x)=(x+3)(x1)2 es positiva y los intervalos en los que es negativa.
Los ceros de f son 3 y 1. Esto crea tres intervalos en los cuales el signo de f es constante:
Encontremos el signo de f para <x<3.
Sabemos que f es siempre postiva o siempre negativa en este intervalo. Podemos determinar cuál es el caso al evaluar f para algún valor en este intervalo. Como 4 está en este intervalo, obtengamos f(4).
Como únicamente nos interesa el signo del polinomio ahí, no necesitamos evaluarlo completamente:
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Evalúa solo el signo de la respuesta.=()(+)Negativo al cuadrado es positivo.=Negativo por positivo es negativo.
Aquí vemos que f(4) es negativo, así que f(x) es siempre negativa para <x<3.
Podemos repetir este proceso para los demás intervalos.
Los resultados se resumen en la siguiente tabla.
IntervaloValor de algún f(x) específico en el intervaloSigno de f en el intervaloConexión con la gráfica de f
<x<3f(4)<0negativoBajo el eje x
3<x<1f(0)>0positivoSobre el eje x
1<x<f(2)>0positivoSobre el eje x
Esto es consistente con la gráfica de y=f(x).

Comprueba tu comprensión

1) g(x)=(x+1)2(x+6) tiene ceros en x=6 y x=1.
¿Cuál es el signo de g en el intervalo 6<x<1?
Escoge 1 respuesta:

2) h(x)=(3x)(x+5)(x2) tiene ceros en x=5, x=2 y x=3.
¿Cuál es el signo de h(x) en el intervalo 5<x<2?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío

3*) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de g(x)=(x2)2(x+1)3?
Escoge 1 respuesta:

Determinar intervalos positivos y negativos a partir de un bosquejo de la gráfica

Otra manera de determinar los intervalos en los cuales un polinomio es positivo o negativo es hacer un bosquejo de su gráfica, de acuerdo al comportamiento del polinomio en los extremos y las multiplicidades de sus ceros.
Lee nuestro artículo Gráficas de polinomios para más detalles.

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