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Problema verbal sobre un sistema con tres variables

Sal resuelve un problema verbal sobre los ángulos de un triángulo, al modelar la información dada como un sistema de tres ecuaciones y variables. Creado por Sal Khan y Monterey Institute for Technology and Education.

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Transcripción del video

resuelve el siguiente problema de aplicación usando tres ecuaciones con tres incógnitas el cual dice el segundo ángulo de un triángulo el 50 grados menor que cuatro veces el primer ángulo mientras que el tercero es 40 grados menor que el primero encuentra las medidas de los tres ángulos así que lo primero que voy a hacer es dibujar aquí a mi triángulo y va a utilizar a sus ángulos este va a ser mi ángulo a b y c es decir mi primero y segundo en mi tercero y lo primero que quiero que recordemos es que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos es 180 grados déjame ponerlo aquí a más b tiene que ser igual a 180 grados y que cree eso ya tenemos la primera ecuación las otras dos las puede sacar el problema y el problema dice el segundo ángulo es decir 20 es 50 grados menos que cuatro veces el primero y con color verde lo voy a poner el segundo ángulo de un triángulo de 50 grados menos que 4 veces el primer ángulo el segundo ángulo es decir ven habíamos bautizado como el segundo grados menos que cuatro veces el primer ángulo cuatro veces el primer ángulo es cuatro veces y a cuatro veces hay que quitarle 50 grados porque ve es 50 grados menos que 4 veces el primer ángulo es decir b es igual a 4 a menos 50 ya está en lenguaje matemático y dice el tercer ángulo es 40 grados menos que el primero es decir se es igual al primero menos 40 grados a menos 40 grados se es igual a menos 40 y ya tengo tres ecuaciones y tres incógnitas por lo tanto puedo resolver este sistema de ecuaciones y lo primero que voy a hacer es pasar todo lo que tenga que ver con las variables del lado izquierdo mientras todo lo que tenga que ver con las constantes se va a quedar del lado derecho entonces de estas dos voy a pasar lo que tiene que ver con una del otro lado de la ecuación y de la primera me queda más de más es igual a 180 ésta se queda tal cual la segunda dice menos 4 am voy a pasar este 4 a del otro lado de la ecuación iba a pasar con signo contrario es como si restar a 4 al ambos lados de la ecuación y me quedan menos 4 ven es igual a menos 50 y en la última voy a pasar la del otro lado de la ecuación con signo contrario es decir voy a restar a de ambos lados de la ecuación y me va a quedar que menos am aquí no tengo nada debe entonces voy a dejar un espacio para ver más si es igual a menos 40 menos a más es igual a menos 40 y por lo tanto ya tengo mis tres ecuaciones y ahora tengo que buscar la solución y para eso date cuenta que la primera actuación en la seis la tercera ecuación se pueden reducir y de hecho la primera ecuación con la segunda ecuación también se pueden reducir si multiplicó por una constante así que primero voy a trabajar con las dos primeras ecuaciones para eliminar la b y que todo esté escrito en términos de ahí dice para que una vez que ya esté hecho esto puede trabajar con la tercera ecuación así que de aquí voy a quitar avn y para quitar a ver si te das cuenta tengo ambas veces positivas pero con coeficiente 1 por lo tanto basta con multiplicar alguna de las dos ecuaciones por menos 1 así que me voy a tomar la primera ecuación y la voy a multiplicar por menos 1 esta de aquí entonces déjeme escribirlo de tema que me va a quedar menos ve y cuando asume con vez se va a cancelar así que déjenme ponerlo aquí la primera ecuación la voy a multiplicar por menos 1 y que me va a quedar menos 1 por aes menos a menos 1 por vez menos b menos uno por ser menos esto es igual a menos 180 y bueno ahora voy a utilizar la segunda ecuación que dice 4a menos 4 más b es igual a menos 50 menos 4a más b es igual a menos 50 y bueno pues ahora que a sumar estas dos y no espera espera espera de hecho déjame tomar el color indicado para que sepas de dónde sale cada cosa era con color verde entonces menos 4 más b es igual a menos 50 y así ya sabes de dónde sale cada cosa y no nos vamos a confundir y bueno entonces que me quedan yo tengo menos a menos 4 a estos menos cinco veces am después estas dos se cancelan justo lo que quería y me queda menos 5 menos es igual a menos 180 menos 50 que es menos 230 y ya tengo una nueva ecuación que solamente está en términos de am y de s puede utilizar la tercera ecuación para que yo pueda reducir ambas y si te das cuenta la c se cancela luego luego así que no te confundas hay que tener solamente mucho cuidado esta ecuación que tengo de azul resultó de estas dos de estas dos que acabo de operar mientras que la tercera no tienen nada que ver con estas dos por lo tanto me dan nueva información la cual voy a ocupar ahorita para que yo pueda despejar alguna de estas dos variables me quedan menos a más se es igual a menos 40 y dice vamos a reducir menos 5 a menos am pues aquí me queda menos 6 am menos 6 a estas dos se cancelan y aquí me queda menos 230 menos 40 esto es lo mismo que menos 270 y bueno si yo he vivido todo entre menos 6 voy a obtener el valor de amd y que me queda estos dos se cancelan y me queda que a es igual a y bueno habrá que reducir esta fracción que tengo aquí si te das cuenta menos entre menos me da más pero cuánto es 270 entre 6 déjame escribirlo primero yo sé que a va a ser igual a más porque menos entre menos me da más 270 entre 6 vamos a hacer la división en 270 en 36 270 dentro 6 afuera 6 cabe cuatro veces en 27 porque 6 por 424 le restó en nuestro gran 3 bajo este 0 y 6 cabe exactamente 5 veces en 30 45 entonces el valor de aes 45 grados justo la mitad de un ángulo recto y bueno ya que tengo el valor de a pues puedo obtener el valor de ese bien fácil de esta ecuación que es igual a menos 40 pero a vale 45 entonces ya sé que se vale 5 déjame ponerlo aquí ya obtengo el valor de ese por la tercera ecuación ser vale 45 menos 40 lo cual son 5 grados ya tengo cuánto vale ya tengo cuánto vale c a vale 45 grados se vale 5 grados y ya con icon se puede obtener entonces el valor de ven y para obtener el valor de b puede utilizar tanto la primera ecuación como la segunda ecuación porque ambas tienen involucradas a la vez sin embargo voy a utilizar la segunda ecuación porque ya está despejada de aquí la vez la b es 4 veces am 4 x 45 ahora mismo qué 90 por 2 ciento ochenta 180 grados menos 50 180 menos 50 estoy tomando esta ecuación y es justo el valor debe que es 130 grados ya tengo a b y c de vale 130 grados y por lo tanto ya no puedo imaginar un triángulo con estas dimensiones en sus ángulos y yo los dibujo en lugar de ponerlo aquí vamos a dibujarlo vale 45 grados es como por aquí después tengo que ver vale 130 así que vamos a hacerlo muy grande porque se vale 5 entonces es un triángulo muy parecido a éste donde vale 45 grados b vale 130 grados y se vale solamente 5 grados pequeños 5 grados y bueno para verificar que estamos bien sería muy bueno hacer la comprobación con estas ecuaciones vamos a ver si nos sale que la suma de esos tres me da cierto 80 grados ojos y 130 cuidado cuidado cuidado y ahora sí pues vamos a sumarlo cuánto es 45 más 135 esto es lo mismo que 50 más 130 lo cual me da 180 la suma de dos ángulos de este triángulo si me dan 180 como cualquier triángulo así que cumplen la primera ecuación vamos a ver si cumplen también las otras 2 b es igual a 4 a menos 50 bueno esto ya lo tenemos por construcción aquí pero vamos a hacerlo de todas maneras b es igual a 4 a 4 hay 180 menos 50 y esto es perfecto estos 130 y c es igual a menos 40 y es lo que tengo aquí 45 menos 40 me da 5 que es justo el valor de sem acabamos de obtener la comprobación de estas tres ecuaciones y por lo tanto lo hemos logrado así que nos vemos en el siguiente vídeo