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Resolver ecuaciones gráficamente (2 de 2)

Sal resuelve la ecuación e^x=1/[x(x-1)(x-2)] al tomar en cuenta la gráfica de y=e^x además de la gráfica de y=1/[x(x-1)(x-2)]. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

fue en el último vídeo en donde estábamos trabajando con la calculadora para estimar dos soluciones de este sistema de este sistema de ecuaciones no lineales lo que buscábamos era en qué punto se interceptaban estas dos curvas el lugar y natural de 3x y esta función que tengo aquí y bueno nuestra estimación la hicimos en decimos es decir dentro de 0.1 nos fijamos en los décimos y aquí hicimos nuestra estimación sin embargo nosotros sacamos algunas conclusiones en el vídeo pasado una de ellas era que por ejemplo este no era el punto de intersección de ambas curvas de una manera exacta de hecho el punto de intersección entre ambas curvas estaba entre 1 y 0.9 entre 0.9 y 1 es decir cerca de aquí y por otra parte el otro punto en donde se interceptaban estas dos curvas estaban entre 2.8 y 2.7 bueno nosotros concluimos que las soluciones más cercanas a decimos eran estas dos pero qué te parece si en esta ocasión tratamos de acercarnos un poco más lo que quiero que veas es que tengo el presentimiento y parece ser que nuestras soluciones ni siquiera son números racionales deben de ser números irracionales por cómo se comporta y cómo es la función logaritmo y más la función logaritmo natural por lo tanto yo estoy casi seguro que por más que nos intentemos acercar siempre vamos a estar cada vez más y más y más cerca del punto de intersección pero encontrarlo no creo que sea nada fácil así que bueno para esto voy a trabajar con un programa que tiene mi computadora el cual nos va a ayudar bastante en entender qué es lo que está pasando con estas dos funciones es un gráfica d'or en este programa podemos poner las dos funciones y vamos a pedirle que nos gráfica las dos funciones y además vamos a intentar aproximarnos lo más que se pueda a los puntos de intersección así que bueno recordemos la primera ecuación era el logaritmo natural ok de a voy a abrir paréntesis de 3x ok y si yo le pido a este programa que me la gráfica entonces le voy a dar este botón de aquí y ya está si te das cuenta está de color negro por lo tanto voy a cambiarle de color y para esto está aquí esta herramienta le voy a cambiar de color para que podamos visualizarla mejor le voy a cambiar al color naranja este color me gusta por lo tanto voy a cambiar este color y voy a cambiar este color y ya la tengo aquí la función logaritmo natural de 3x ahora vamos a pedirle a este programa que también podamos poner justo ahorita otra ecuación así que vamos a agregar una nueva ecuación una nueva función y por lo tanto vamos a escribir la otra función que según me acuerdo era y primero hay que poner un símbolo de fracción que creo que es este de aquí ok y me quedaba x elevada donde está este botón creo que es este no creo que es este perfecto x elevado al cuadrado a esto le quitábamos x y después le sumábamos 1 ok y todo eso si te acuerdas lo dividimos entre x ahora ya tengo la siguiente función y vamos a este botón para que me la gráfica de lujo aquí esta gráfica da esta función y déjame cambiar de color le voy a cambiar a un color al color azul para que la veamos de color azul de lujo entonces déjame cerrar esto de aquí y estoy aquí y si te das cuenta esta parte esta parte se parece muchísimo a lo que nosotros veíamos en nuestra gráfica que tenemos aquí abajo fíjate bien fíjate en esta parte y ahora nos fijamos en esta gráfica y son muy parecidas aquí tengo a rx y lx y por lo tanto aquí en este programa también voy a tener a l de x y de x aquí está de lujo ahora qué te parece si para empezar a nos acercamos un poco más a estos puntos de intersección y para eso lo que voy a hacer es modificar la escala y voy a agarrar un rango tanto en x como un james más cercano estos dos puntos de intersección así que vamos a hacerlo para esto voy a poner los límites que quieran ok y ya los tengo aquí quiero que x vaya desde este punto desde 0.8 desde 0.8 ok hasta este punto vamos a alejarnos no tanto vamos a acercarnos al 3 me voy a poner en el valor de 3 ok de 0.8 hasta 3 ok y voy a poner una escala de 0 punto que te parece de 0.5 para que se vea con mayor exactitud ahora en yemen me interesa ver qué es lo que pasa desde bueno puedo empezar desde aquí desde 0.8 vamos a ponerlo desde 0.8 hasta bueno llegábamos hasta el 2 y tantos entonces le voy a poner hasta el 3 hasta el 3 de lujo entonces se va a acercar más todo esto y ya aquí tenemos las dos funciones en un rango que me hace visualizar mucho mejor los puntos de intersección es este punto de aquí y este punto de aquí atrás los que vamos lo que se me ocurre hacer para encontrar estos puntos de intersección es pedirle al mismo programa que me busque los puntos de intersección y vamos a ver con qué esa actitud me los encuentra así que para esto vamos a seleccionar estas dos funciones esta y esta las dos ok y ahora voy a poner que me busque que me busque la intersección entre ellos ok me dice te voy a buscar la intersección de entre ellos y le voy a pedir que me lo busque fíjate precisamente por aquí en el 0.9 cerca del 0.9 que fue nuestra conclusión en el vídeo pasado fíjate bien aquí en el vídeo pasado llegamos a que el punto estaba cercano a 0.9 por lo tanto vamos a ponerle 0.9 y 2.7 que busquen una intersección entre estas dos curvas cerca muy cerca de estos puntos y vamos a ver con cuántos decimales me estima esta solución así que busquemos otra vez el programa y estaba por aquí ya no tengo ok no está por aquí ok de lujo ahora le estoy pidiendo a este programa que cerca del 0.9 me encuentre la intersección y bueno él me dice que la intersección se encuentra muy cerca de 0.91 35 y que bien vale 1.00 82 de lujo que estamos justo aquí en este punto que parece ser una buena estimación al punto de intersección ahora si te das cuenta su estimación es mucho mejor que la nuestra es 0.9 135 y nosotros solamente nos quedamos en 0.9 pero lo que ya podemos ver es que este punto de intersección está mucho más cerca de 0.9 que lo que estaba de 1 además fíjate que aquí nos está estimando hasta decimos centésimos milésimas diezmilésimos hasta 10 milésimas que no se me hace nada malo y también nos da el valor de hasta 10 milésimas ahora estamos cerca de este punto de aquí pero yo estoy segurísimo que no acaba aquí todo esto de hecho tú podrías meter en tu calculadora el valor de 0.9 135 evaluarlo en las dos funciones tanto el logaritmo natural de 3x como en la función x - x1 todo eso entre x y para saber que no te va a dar el mismo valor te va a dar un valor muy pero muy pero muy cercano pero encontrar el punto el punto de intersección no es nada sencillo tanto que ni siquiera este programa lo puede hacer ahora otra cosa que quiero aclararte es que este programa te dará una estimación hasta diezmilésimos cosa que está bastante bien sin embargo tú puedes encontrar otros programas otros gráfica dores u otras calculadoras gráfica doras que te den este valor con mucho más exactitud y puede ser una mejor estimación si tú tienes una calculadora o un programa que haga esto inténtalo por ti mismo a ver hasta qué valor te puede dar ahora busquemos el otro punto de intersección que estaba cerca de 2.7 te acuerdas entonces voy a sustituir a x por 2.7 y le voy a pedir en esta ocasión a este programa a este gráfica dor que me busque un punto de intersección cercano cercano a 2.7 a ver que me encuentra así que le voy a dar aquí y ya me mando para acá ahora estamos justo justo en este punto de aquí este punto de aquí lo más que se acerca este programa es hasta disminuimos otra vez y me dice que el valor en el cual se intersectan ambas curvas es 2.7 432 donde james es decir l de x y rx su valor se aproxima a 2.10 77 y es este valor de aquí así que no estábamos tan mal nosotros pusimos 2.7 y si te das cuenta si estamos más cercanos a 2.7 de lo que estamos a 2.8 pero este programa al menos me lo calcula hasta diezmilésimos y parece tener una mejor mucho mejor estimación que lo que nosotros habíamos calculado ahora vuelvo a aclarar yo creo que es una buena estimación pero tal vez existan programas o calculadoras gráfica dora's que lo hagan mucho mejor y se acerquen mucho pero mucho pero mucho más al punto de intersección y bueno también por lo tanto te va a dar un mejor valor para jane y bueno la otra es que no creo que haya ningún programa que te dé el punto exacto porque estoy segurísimo bueno muy seguro de que es un valor irracional y los irracionales ya sabes que son muy y vuelvo a pedirte que te parece si te acercas a 2.74 32 lo sustituyese en tu calculadora en estas dos expresiones tanto en la función l de x como en ere de x y para saber que no vas a llegar exactamente al valor de 2.10 77 va a ser ir a un valor muy cercano en ambas pero bueno este programa al menos menos gráfica no los pone muy cercanos justo aquí ahora voy a intentar voy a intentar acercar un poco más a este punto de intersección a este punto de intersección y para eso voy a acercar la imagen ok le voy a pedir que se acerque a este punto de kiel entonces vamos a acercarnos ok ya perdí la gráfica estamos un poco más abajo y bajamos un poco ok bajemos un poco y estábamos cerca de 2.74 y algo de cuerdas entonces me voy a acercar más para acá más para acá voy a bajar un poco fíjate como las dos gráficas se van acercando se van acercando se van acercando se van acercando se van acercando y de hecho si nosotros no adelantamos un poco más un poco más un poco más un poco más un poco más un poco más un poco más un poco más un poco más vamos a ver qué se van a interceptar estas dos curvas así que creo que vamos bastante bien vamos a moverle un poco más ya para que no se encuentre el punto de intersección y justo aquí donde tenemos el punto de intersección date cuenta que nos da un valor muy cercano al que nos estaba dando hace rato dos puntos 74 30 y 22 puntos 74 32 de hecho tenemos la misma escala aquí lo que quiere decir que el programa no se puede acercar más a este punto pero vuelvo a insistir se me hace un muy pero muy pero muy pero muy buen valor de aproximación si me trató de acercar más a fíjate que la escala sigue igual ok bueno creo que eso es todo por este vídeo y te invito a que tú agarres tu propio programa gráfica door o tu calculadora gráfica dora e intentes con estas dos ecuaciones buscar el punto de intersección a ver si te da un valor un poco más preciso mejor estimado y además de que tú intentes encontrar la mejor aproximación que puedas sobre el punto de intersección de éstas curvas o en donde estas dos curvas son iguales hasta la próxima