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Introducción a los exponentes racionales

¿Qué significa tomar un número elevado a una potencia que es una fracción unitaria? Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de 3 elevado a la ½? Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

Ya sabemos un montón acerca de los exponentes, si nos encontramos por ahí a un 4 a la 3, ya sabemos que esto es igual a, pues tomar el 4 y multiplicarlo 3 veces, o sea 4 por 4, por 4, que bueno, hay dos formas de encontrar este 4 a la 3. Una es ésta y la otra es tomar un 1 y multiplicar por 4, tres veces, pero a final de cuentas, nos queda exactamente lo mismo que es igual a 4 por 4 = 16 por 4 = 64. También sabemos exactamente que hacer cuando nos encontramos con exponentes negativos, por ejemplo 4 a la -3. Nosotros sabemos que este menos, que en el otro vídeo lo coloreábamos de morado, lo que hace este menos es que tomemos el recíproco, ya sea que tomemos 1entre, y luego esta expresión pero, sin el menos en el exponente o sea 4 a la 3 ó, que tomemos el recíproco de este número 4 y luego eso lo elevemos a la tercera potencia, ¿Ok? Que tengamos 1 entre 4 y eso lo elevemos a la tercera potencia, pero bueno de cualquier forma tomemos el camino que tomemos para encontrar 4 a la -3, siempre va a ser igual a 1 entre 64. Ahora lo que vamos a hacer es algo un poco más interesante, que es tomar exponentes racionales ¿ok? Exponentes que son fracciones. Así es que vamos a pensar en qué significa 4 elevado a la potencia 1/2. Así es que ya sabes, ponle pausa, por lo menos intenta adivinar qué significa esto ¿ok? Y ya después ya le pones play, Y bueno, resulta que la definición matemática que... bueno, en realidad todo el mundo usa es que 4 elevado a la fracción 1/2 es igual a la raíz cuadrada de 4 ¿Ok? Esa es una definición mundialmente aceptada ¿y por qué lo definimos así? Pues por que si lo definimos así, tiene un montón de propiedades muy elegantes, y a la hora de manipular todos los exponentes y hacer todas las cuentas con ellos, resulta muy conveniente. Por cierto, ¿a qué nos referimos con raíz cuadrada de 4? Nos referimos simplemente a algún número, que si lo multiplicamos por sí mismo 2 veces, nos queda lo de adentro de el radical que es este símbolo de aquí, que en este caso es 4. A ver, seguramente ya sabes cuál es la raíz cuadrada de 4. A ver, ¿cuál es ese número que si lo multiplicamos por si mismo 2 veces nos queda 4? Pues ese número es simplemente 2, ¿ok? Porque 2 por 2, que lo denotamos por 2 al cuadrado es igual a 4. Entonces la raíz cuadrada de 4 es 2 porque 2 al cuadrado es 4. Bueno, vamos a ver otros ejemplos, por ejemplo tomemos por aquí 9 y elevémoslo a la 1/2. Esto es igual a la raíz cuadrada de 9, pero la raíz cuadrada de 9 es igual a... a ver, un número que si lo multiplicamos por sí mismo 2 veces nos dé 9. Pues eso simplemente es un 3, porque 3 por 3 es 9, ok, que podemos a escribirlo por aquí, 3 al cuadrado que es igual a 3 por 3, es igual a 9. Entonces raíz de 9 es igual a 3 y la raíz de 9 es igual a 9 elevado a la 1/2. Entonces ¿tú qué opinas? ¿Se empieza a notar el patrón? ¿o hacemos más ejemplos? Bueno, de todas formas, vamos a hacer más ejemplos. Tomamos por aquí 25 y lo elevamos a la potencia 1/2, y entonces, esto de aquí es igual a la raíz cuadrada de 25, así es que estamos buscando un número que si lo multiplicamos por sí mismo 2 veces nos quede 25 y ese número obviamente es 5, porque 5 al cuadrado, que es igual a 5 por 5 es igual a 25. ¿Ok? Si se nota más o menos el patrón, ¿no? O sea tenemos aquí 9 a la 1/2 y 3 al cuadrado. Bueno, ahora yo quiero que me digas, ¿cuánto crees que vale 8 elevado a la 1/3? Pues lo más natural es pensar que 8 elevado a la 1/3 es igual a la raíz cúbica de 8 y si pensaste eso estás completamente en lo correcto. Y nosotros ya sabemos cuál es la raíz cúbica de 8 ¿no? Por que la raíz cúbica de 8, es igual a justo ese número que si lo multiplicamos por sí mismo 3 veces nos da igual a 8, y ya sabemos cuál ese número, ¿no? O sea si tomamos 2 y lo multiplicamos por sí mismo 3 veces lo que obtenemos es 8. Entonces la raíz cúbica de 8 es igual a 2. ¿Ok? Y 2 por 2, por 2, es igual a 2 a la 3 y otra vez aquí estamos notando cierto patrón. Pero bueno sigamos con esto de los ejemplos, ahora tuvimos 64 elevado a la 1/3, a ver, ¿a cuánto es igual? Pues obviamente es la raíz cúbica de 64. Pero la raíz cúbica de 64 es justo ese número que si lo multiplicamos por sí mismo 3 veces nos da 64. Y por aquí acabamos de ver que 4 elevado a la 3 es igual a 64. Entonces 64 a la 1/3 es igual a 4. Ahora este asunto, se puede generalizar para cualquier fracción de la forma 1 entre y algún entero, ¿ok? podemos tener por ejemplo, 32 elevado a la potencia 1/5 y aquí lo que tenemos que hacer es pensar, en qué número, si lo multiplicamos por sí mismo 5 veces nos da 32, pero creo que ya sabemos cuál es ese número, ¿no? Porque tenemos que 32 es igual a 2 por 2, por 2, por 2, por 2, 2 por 2 = 4 por 2 = 8 por 2 = 16 por 2 = 32 y qué curioso aquí tenemos 1, 2, 3, 4, 5... de estos 2 que se están multiplicando. Entonces 32 elevado a la 1/5 es igual a 2 y bueno, la otra forma de escribir este hecho de la vida real, es poner que 2 elevado a la 5 es igual a 32.