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Curso: Álgebra 2 (Eureka Math/EngageNY) > Unidad 3

Lección 13: Tema E: Lección 29: Series aritméticas

Hoja de trabajo para series aritméticas

Intenta hacer algunos problemas en los que se te pedirá evaluar series aritméticas finitas.

Practica evaluar series aritméticas

Problema 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

¿En qué consiste esta pregunta?

Nos piden la suma de los valores de

- 5 k + 12

k = 1

k = 275

(- 5 \cdot 1 + 12) + (- 5 \cdot 2 + 12) + … + (- 5 \cdot 275 + 12)

La serie es aritmética porque la fórmula

- 5 k + 12

es una función lineal de

k

Fórmula para la serie aritmética

La suma

S_{n}

de una serie aritmética finita es

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

donde

a_{1}

es el primer término,

a_{n}

es el último término, y

n

es el número de términos.

¿Qué necesitamos para usar la fórmula?

El número de términos

(n = 275)

es el límite superior de la notación sigma.

Necesitamos encontrar

a_{1}

(el primer término) y

a_{275}

(el último término).

Paso 1: encuentra $a_{1}$ ‍ y $a_{275}$ ‍ (el primer y el último término)

a_{1} = - 5 (1) + 12 = 7

a_{275} = - 5 (275) + 12 = - 1363

Paso 2: encuentra la suma $(S_{n})$ ‍ de la serie

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \cdot 275 \\ S_{275} & = - 678 (275) \\ S_{275} & = - 186,450 \end{aligned}

La respuesta

- 186,450

Problema 2

La sucesión aritmética

a_{i}

está definida por la fórmula:

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Encuentra la suma de los primeros $335$ ‍ términos de la sucesión.

Para empezar

Escribamos algunos de los primeros términos de la serie:

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

Se trata de una sucesión aritmética porque la diferencia entre términos es constante. Esto es, cada término es

3

menos que el término que lo precede.

Necesitamos una fórmula para calcular la suma de los términos.

Fórmula para la serie aritmética

La suma

S_{n}

de una serie aritmética finita es

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

donde

a_{1}

es el primer término,

a_{n}

es el último término, y

n

es el número de términos.

¿Qué necesitamos para usar la fórmula?

En la pregunta nos dan el primer término

(a_{1} = 2)

y el número de términos

(n = 335)

Necesitamos encontrar el último término

(a_{n})

Paso 1: encuentra $a_{n}$ ‍ (el último término)

Hay

335 - 1 = 334

términos después del primer término. La sucesión disminuye en

3

por cada nuevo término. Por lo tanto, la sucesión disminuye un total de

334 \cdot 3 = 1002

desde el comienzo en

2

. Eso significa que el último término debe ser

2 - 1002 = - 1000

En otras palabras,

a_{n} = - 1000

Paso 2: encuentra la suma $(S_{n})$ ‍ de la serie

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \cdot 335 \\ S_{335} & = - 499 (335) \\ S_{335} & = - 167,165 \end{aligned}

La respuesta

- 167,165

Problema 3

Encuentra la suma de $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍.

Para empezar

Se trata de una sucesión aritmética porque la diferencia entre términos es constante. Esto es, cada término es

6

menos que el término que lo precede.

Necesitamos una fórmula para calcular la suma de los términos.

Fórmula para la serie aritmética

La suma

S_{n}

de una serie aritmética finita es

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

donde

a_{1}

es el primer término,

a_{n}

es el último término, y

n

es el número de términos.

¿Qué necesitamos para usar la fórmula?

En la pregunta nos dan el primer término

(a_{1} = - 50)

y el último término

(a_{n} = 2044)

Necesitamos encontrar

n

(el número de términos).

Paso 1: encuentra $n$ ‍ (el número de términos)

La sucesión aumenta en

2044 - (- 50) = 2094

desde el primer hasta el último término. Dado que la sucesión aumenta en

6

cada vez, se necesitan

\frac{2094}{6} = 349

términos para ir del primero al último. Aún tenemos que considerar el primer término, así que hay

349 + 1 = 350

términos en la sucesión.

En otras palabras,

n = 350

Paso 2: encuentra la suma $(S_{n})$ ‍ de la serie

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \cdot 350 \\ S_{350} & = 997 (350) \\ S_{350} & = 348,950 \end{aligned}

La respuesta

348,950

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rojaschilcadamarisbrisseth
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “La última es 348,950...” de rojaschilcadamarisbrisseth
La última es 348,950
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- Koatl
  Publicado hace hace 10 meses. Enlace directo a la publicación “oh shi, oh shi UwU...” de Koatl
  oh shi, oh shi
  UwU
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Autodidacta
Publicado hace hace 7 meses. Enlace directo a la publicación “yo se que no todo el mund...” de Autodidacta
yo se que no todo el mundo tiene tiempo para profundizar por examenes o por x motivo por eso les presentare una formula para encontrar el numero de terminos de una sucesion. n= ultimo termino- primer termino/ la diferencia de la sucesion. el resultado le suman 1 denada.
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Culturahs
Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “ak no deberia ser -7 ? =...” de Culturahs
ak no deberia ser -7 ?

=−5(1)+12=7

porque espues tiene

=−5(275)+12=−1363
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