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Volumen de una pirámide o de un cono

¿De dónde sale el 1/3 en la fórmula para el volumen de una pirámide? ¿Cómo se relaciona con el volumen de un cono? ¿Qué pasa con las pirámides oblicuas (las que se inclinan a un lado)?

¿Qué son pirámides y conos?

Una pirámide es la colección de todos los puntos entre (e inclusive) una base en forma de polígono y un ápice que está en un plano diferente al de la base.
Otra manera de pensar en una pirámide es como una colección de todas las homotecias de la base, con el ápice como centro de homotecia, con factores de escala de 0 a 1.
Un cono es una figura piramidal, o en forma de pirámide, cuya base es un círculo u otra curva cerrada en lugar de un polígono. Un cono tiene una superficie lateral curva en lugar de varias caras triangulares; pero en términos de volumen, un cono y una pirámide son similares.

Volumen de una pirámide

La fórmula para el volumen V de una pirámide es V=13(área de la base)(altura). ¿De dónde sale esa fórmula?

¿De dónde sale 13 en la fórmula?

Supongamos que empezamos con un cubo cuya longitud lateral es 1 unidad. Podemos rebanar ese cubo en 3 pirámides congruentes.
Problema 1
¿Cuál es el volumen de cada pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
unidades cúbicas

Escalar la pirámide

Escalar una pirámide funciona exactamente de la misma manera que escalar el prisma que la encierra. Cuando escalamos una pirámide con volumen Vno escalado por los factores de r, s y t en tres direcciones perpendiculares, entonces el volumen Vescalado de la figura escalada es Vno escaladorst.
Problema 2
La siguiente pirámide es una versión escalada de la pirámide anterior con base cuadrada, en la que se utilizan diferentes factores de escala para cada dimensión.
¿Cuál es el volumen de la pirámide con base rectangular?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
cm3

idea clave: el volumen de una pirámide sigue siendo 13 del volumen del prisma que la encierra, incluso después que escalamos ambos.

Deslizar las rebanadas

Imagina que rebanamos la pirámide en capas paralelas a su base. Podemos deslizar esas capas sin cambiar el volumen. A medida que el número de capas se acerca a infinito, nuestra pirámide remodelada se suaviza.
El principio de Cavalieri dice que mientras no cambiemos la altura ni las áreas de secciones transversales paralelas a la base de la pirámide, ¡tampoco cambiamos el volumen! Podemos utilizar la misma fórmula para el volumen de la pirámide sin importar dónde movamos el ápice.
Problema 3
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
m3

Cambiar la forma de la base

Hay otra aplicación realmente fascinante del principio de Cavalieri a las pirámides. Dos bases pueden tener la misma área y formas totalmente diferentes. Si la altura y el área de la base de dos pirámides o sólidos en
son iguales, también lo son sus volúmenes, pues las áreas de todas las demás secciones transversales paralelas a la base también deben ser iguales.
Entonces nuestra fórmula Vpírámide=13(área de la base)(altura) funciona, sin importar la forma 2D que tenga la base.
Problema 4.1
La base de la siguiente pirámide es un triángulo rectángulo isósceles.
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
cm3

Obtener 13 de otra manera

Otra manera en que los matemáticos como tú se han convencido que el volumen de una pirámide es 13 del volumen del prisma que la contiene es al aproximar el volumen con prismas.
Podemos modelar una pirámide como una pila de prismas, como al construir una pirámide con bloques. El volumen de este modelo es mayor que el de la pirámide. A medida que hacemos capas más y más finas, nos acercamos cada vez más al volumen de la pirámide.
Número de capasVolumen de la aproximación de pirámide de bloquesVolumen del prisma
40.469
160.365
640.341
2560.335
10240.334
40960.333
13
Como las figuras prismáticas pueden tener cualquier figura cerrada 2D en sus bases, y como podemos inclinar el prisma sin cambiar su volumen, la razón es válida para todas las figuras piramidales, incluyendo a los conos.

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