Volumen de una pirámide o de un cono

Una pirámide es la colección de todos los puntos entre (e inclusive) una base en forma de polígono y un ápice que está en un plano diferente al de la base.

Otra manera de pensar en una pirámide es como una colección de todas las homotecias de la base, con el ápice como centro de homotecia, con factores de escala de $0$‍ a $1$‍.

Un cono es una figura piramidal, o en forma de pirámide, cuya base es un círculo u otra curva cerrada en lugar de un polígono. Un cono tiene una superficie lateral curva en lugar de varias caras triangulares; pero en términos de volumen, un cono y una pirámide son similares.

La fórmula para el volumen $V$‍ de una pirámide es $V={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{área de la base})(\text{altura})$‍. ¿De dónde sale esa fórmula?

Supongamos que empezamos con un cubo cuya longitud lateral es $1$‍ unidad. Podemos rebanar ese cubo en $3$‍ pirámides congruentes.

Escalar una pirámide funciona exactamente de la misma manera que escalar el prisma que la encierra. Cuando escalamos una pirámide con volumen $V_{\text{no escalado}}$‍ por los factores de $r$‍, $s$‍ y $t$‍ en tres direcciones perpendiculares, entonces el volumen $V_{\text{escalado}}$‍ de la figura escalada es $V_{\text{no escalado}}rst$‍.

idea clave: el volumen de una pirámide sigue siendo ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ del volumen del prisma que la encierra, incluso después que escalamos ambos.

Imagina que rebanamos la pirámide en capas paralelas a su base. Podemos deslizar esas capas sin cambiar el volumen. A medida que el número de capas se acerca a infinito, nuestra pirámide remodelada se suaviza.

El principio de Cavalieri dice que mientras no cambiemos la altura ni las áreas de secciones transversales paralelas a la base de la pirámide, ¡tampoco cambiamos el volumen! Podemos utilizar la misma fórmula para el volumen de la pirámide sin importar dónde movamos el ápice.

Hay otra aplicación realmente fascinante del principio de Cavalieri a las pirámides. Dos bases pueden tener la misma área y formas totalmente diferentes. Si la altura y el área de la base de dos pirámides o sólidos en son iguales, también lo son sus volúmenes, pues las áreas de todas las demás secciones transversales paralelas a la base también deben ser iguales.

Entonces nuestra fórmula $V_{\text{pírámide}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{área de la base})(\text{altura})$‍ funciona, sin importar la forma 2D que tenga la base.

Otra manera en que los matemáticos como tú se han convencido que el volumen de una pirámide es ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ del volumen del prisma que la contiene es al aproximar el volumen con prismas.

Podemos modelar una pirámide como una pila de prismas, como al construir una pirámide con bloques. El volumen de este modelo es mayor que el de la pirámide. A medida que hacemos capas más y más finas, nos acercamos cada vez más al volumen de la pirámide.

Como las figuras prismáticas pueden tener cualquier figura cerrada 2D en sus bases, y como podemos inclinar el prisma sin cambiar su volumen, la razón es válida para todas las figuras piramidales, incluyendo a los conos.