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Visualizar la multiplicación de números complejos

Aprende cómo se comporta la multiplicación de números complejos, al ver el efecto gráfico en el plano complejo.

Cómo se ve la multiplicación compleja

A estas alturas sabemos multiplicar dos números complejos, tanto en forma rectangular como polar. En particular, la forma polar nos dice que estamos multiplicando amplitudes y sumando ángulos.
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]
Una de las mayores fortalezas de pensar la multiplicación compleja en términos de la representación polar es que se presta a visualizar lo que está ocurriendo.
¿Qué pasa si multiplicamos cada punto en el plano complejo por un número complejo z? Si z tiene forma polar r(cos(θ)+isin(θ)), la regla descrita anteriormente nos dice que cada punto en el plano será escalado en un factor r y rotado un ángulo θ.

Ejemplos

Para z=3+i=2(cos(30)+isin(30)), multiplicar por z escalaría todo un factor de 2 y lo rotaría 30, así:
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Para z=13i3, el valor absoluto de z es
(13)2+(13)2=23
y su ángulo es 45, por lo que multiplicar por z escalaría todo en un factor de 230.471, significando una contracción, y lo rotaría 45 al rededor del origen, que es una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
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Para z=2, que tiene un valor absoluto de 2 y un ángulo de 180, la multiplicación rota media vuelta alrededor del origen mientras estira en un factor de 2.
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Otra manera de pensar estas transformaciones, y la multiplicación compleja en general, es poner una marca bajo el número 1, poner otra bajo el número z y observar que, si multiplicamos por z, arrastramos el punto 1 al punto donde z comenzó, puesto que z1=z. Por supuesto, debemos hacer esto en una forma que deje fijo el origen, ya que z0=0.
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¿¡No es interesante cómo hechos tan simples como z1=z y z0=0 pueden ser tan útiles para visualizar la multiplicación compleja!?

Una comprensión visual de los complejos conjugados

Observemos qué pasa cuando multiplicamos el plano por algún número complejo z y luego multiplicamos el resultado por su conjugado, z¯:
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Si el ángulo de z es θ, el ángulo del complejo conjugado z¯ es θ, así que las multiplicaciones sucesivas no tienen ninguna rotación total. Podemos ver esto por el hecho que el punto que empezó en 1 finalmente aterriza en la parte positiva de la recta real.
¿Qué hay de la magnitud? Ambos números tienen el mismo valor absoluto, |z|=|z¯|, así que el efecto total de multiplicar por z y luego por z¯ es estirar todo en un factor de |z||z¯|=|z|2.
Por supuesto, este hecho es lo suficientemente simple para ser visto en las fórmulas, pues (a+bi)(abi)=a2+b2=|a+bi|2, ¡pero verlo en acción puede ser muy ilustrativo!

Cómo se ve la división compleja

¿Qué pasa si dividimos cada número en el plano complejo entre z? Si z tiene un ángulo θ y un valor absoluto r, entonces la división hace lo opuesto de la multiplicación: rota todo un ángulo θ y lo escala en un factor de 1r (o sea, se contrae en un factor de r).

Ejemplo 1: división entre 3+i

El ángulo de 3+i es 30 y su valor absoluto es 2, así que todo rota 30, que es en dirección a las manecillas del reloj, y se escala en un factor de 12 (o sea, se contrae un factor de 2).
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Ejemplo 2: división entre 13i3

El ángulo de 13i3 es 45 y su valor absoluto es
(13)2+(13)2=23
Así que ahora todo rota +45 y es escalado en un factor de 322.121.
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Puedes haber observado que estas divisiones también pueden verse como tomar el punto arriba de z y colocarlo sobre 1.

Relacionar la visualización de la división compleja con su fórmula

Para calcular zw, donde z=a+bi y w=c+di, aprendimos que debemos multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado de w, w=cdi.
zw=a+bic+di=a+bic+dicdicdi=(a+bi)(cdi)c2+d2=zw|w|2
En otras palabras, dividir entre w es lo mismo que multiplicar por w|w|2. ¿Hay alguna forma visual de entender esto?
Supongamos que w tiene un ángulo θ y un valor absoluto r. Entonces, para dividir entre w, debemos rotar un ángulo de θ y escalar en un factor de 1r. Ya que el conjugado, w, tiene un ángulo opuesto al de w, multiplicar por w rotará por θ, como queremos. Sin embargo, multiplicar por w escala todo en un factor de r, cuando necesitamos lo contrario, por lo que dividimos entre r2=|w|2 para corregir.
Por ejemplo, así se ve dividir directamente entre 1+2i:
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Y así se ve primero multiplicar por su conjugado, 12i, y luego dividir entre el cuadrado de su magnitud, |1+2i|2=5.
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El resultado final de ambas operaciones es el mismo.

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