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Propiedades de la suma de matrices

Aprende las propiedades de la suma de matrices (como la propiedad distributiva) y cómo se relacionan con la suma de números reales.
En la tabla siguiente, A, B y C son matrices de dimensiones iguales.
PropiedadEjemplo
Propiedad conmutativa de la sumaA+B=B+A
Propiedad asociativa de la sumaA+(B+C)=(A+B)+C
Propiedad de la identidad aditivaPara cualquier matriz A, hay una única matriz O tal que A+O=A.
Propiedad del inverso aditivoPara cada A, hay una única matriz A tal que A+(A)=O.
Propiedad de cerradura de la sumaA+B es una matriz de las mismas dimensiones que A y B.
Este artículo explora estas propiedades de suma de matrices.

Matrices y suma de matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas. Las dimensiones de una matriz indican el número de renglones y columnas de la matriz en ese orden. Como la matriz A tiene 2 renglones y 3 columnas, se llama una matriz de 2×3.
Para sumar dos matrices de las mismas dimensiones, simplemente suma las entradas en las posiciones correspondientes.
[3724]+[5281]=[3+57+22+84+1]=[89105]
Si algo de esto es nuevo para ti, deberías revisar los siguientes artículos antes de continuar:

Consideraciones de las dimensiones

Observa que la suma de dos matrices de 2×2 es otra matriz de 2×2 matrix. En general, la suma de dos matrices de m×n es otra matriz de m×n. Esto describe la propiedad de cerradura de la suma de matrices.
Si las dimensiones de dos matrices no son las mismas, la suma no está definida. Esto es porque si A es una matriz de 2×3 y B es una matriz de 2×2, ¡entonces algunas entradas en la matriz A no tienen entradas correspondientes en la matriz B!
[278243]+[5281]=indefinida

Suma de matrices y suma de números reales

Como la suma de matrices depende fuertemente en la suma de números reales, muchas de las propiedades de la suma que sabemos que son verdaderas para números reales también son verdaderas para matrices.
Veamos cada propiedad individualmente.

Propiedad conmutativa de la suma: A+B=B+A

Esta propiedad indica que puedes sumar dos matrices en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Esto es similar a la propiedad conmutativa de los números reales. Por ejemplo, 3+5=5+3.
El siguiente ejemplo ilustra esta propiedad de las matrices.
[3724]+[5281]=[3+57+22+84+1]=[5+32+7 8+21+4]La suma de números reales es conmutativa.) =[5281]+[3724]
¡Observa que la propiedad conmutativa de la suma para matrices se mantiene gracias a la propiedad conmutativa de la suma para números reales!

Propiedad asociativa de la suma: (A+B)+C=A+(B+C)

Esta propiedad indica que puedes cambiar la agrupación en la suma de matrices y obtener el mismo resultado. Por ejemplo, puedes sumar la matriz A y B primero, y luego sumar la matriz C, o bien puedes sumar la matriz B y C, y luego este resultado sumarlo a A.
Esta propiedad es similar a la propiedad asociativa de la suma para números reales. Por ejemplo, (2+3)+5=2+(3+5).
Justifiquemos esta propiedad de matrices con un ejemplo.
En cada columna simplificamos un lado de la identidad en una sola matriz. Las dos matrices resultantes son equivalentes gracias a la propiedad asociativa de la suma. Por ejemplo, (5+3)+1=5+(3+1).
Por esta propiedad, podemos escribir una expresión como A+B+C y tenerla completamente definida. No necesitamos parétesis que indiquen qué suma hacer primero, ¡pues no importa!

Propiedad de la identidad aditiva: A+O=A

Una matriz cero, se denota como O, es una matriz en la que todas las entradas son 0.
Observa que cuando se suma una matriz cero a cualquier matriz A, el resultado es siempre A.
  • [3179]+[0000]=[3179]
  • [000000]+[283157]=[283157]
Estos ejemplos ilustran el significado de la propiedad de la identidad aditiva: que la suma de cualquier matriz A y la matriz cero apropiada es la matriz A.
Una matriz cero se puede comparar con el número cero en el sistema de número reales. Para todos los números reales a, sabemos que a+0=a. El número 0 es la identidad aditiva en el sistema de números reales, tal como O es la identidad aditiva para matrices.

Propiedad del inverso aditivo: A+(A)=O

La opuesta de una matriz A es la matriz A, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz A.
Por ejemplo, si A=[2831], entonces A=[2831].
Si sumamos A con A obtenemos la matriz cero, lo cual ilustra la propiedad del inverso aditivo.
A+(A)=[2831]+[2831]=[2+28+(8)3+31+(1)]=[0000]
La suma de números reales y su opuesto es siempre 0, y por lo tanto la suma de cualquier matriz y su opuesta es la matriz cero. Por esto, nos referimos a matrices opuestas como inversas aditivas.

Comprueba tu comprensión

Para los problemas siguientes, sean A, B y C matrices de 2×2.
1) ¿Cuáles de las siguientes expresiones matriciales son equivalentes a (A+B)+C?
Elige todas las respuestas adecuadas:

2) ¿Cuáles de las siguientes expresiones matriciales son equivalentes a (A+(A))+B?
Recuerda que A y B son matrices de 2×2.
Elige todas las respuestas adecuadas:

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