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Determinar matrices invertibles

Mostramos porqué una matriz es invertible si y solo si su determinante no es 0. Creado por Sal Khan.

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quizás aún más interesante que encontrar la inversa de una matriz es es tratar de determinar cuándo una inversa de la matriz no existe o cuando ésta es indefinida y una matriz cuadrada para la que no hay inversa de las cuales una inversa no está definida se le denomina matriz singular así que vamos a pensar lo que es esto y cómo se aplica a los diferentes problemas que hemos planteado ya anteriormente utilizando matrices así que si tuviera una matriz de dos por dos digo de esto es un ejemplo sencillo pero o trasladar estos argumentos a cualquier matriz de cualquier tamaño mientras sea cuadrada digamos que esta es la matriz abc de ok cuál es la inversa de esta matriz esperemos que esto ya sea de naturaleza familiar para ustedes bueno pero esto es uno entre el determinante de a la matriz adjunta verdad y en este caso la matriz de adjunta es de a intercambiamos esos y luego a los otros les cambiamos el signo verdad y nos queda menos 6 b así que mi pregunta es qué haría que esta expresión completa no está definida bueno no importa lo que tengo dentro de la matriz verdad aquí todas estas son números que simplemente los intercambios les cambia el signo esto no tiene ningún problema por lo que crearía un problema si intentáramos dividir por cero aquí es decir si el determinante de la matriz de de a fuera cero fuera nula así que una inversa éste no está no está definida no está definida si y sólo si y en matemáticas ya saben que para resumirlo lo escribimos como si con doble y pero bueno si sólo si el determinante de la matriz a es igual a cero y la otra forma de ver esto es que si el determinante de la matriz es igual a cero entonces la inversa no está definida porque tendría yo que dividir entre el determinante y si en cero pues no se puede verdad así que vamos a pensar en términos más conceptuales de los problemas que hemos visto qué pasaría si el determinante es igual a cero porque porque no puedo determinar una inversa así que que es que el determinante sea cero para empezar bueno el determinante de a es igual a a por de menos b por c a de menos de porsche así que esta matriz es singular y no tiene inversa si este numerito de aquí si esta expresión es igual a cero así que déjenme escribirlo a d es igual abc es lo mismo verdad pasamos veces sumando del otro lado y por ejemplo podríamos decir también que esto es válido si a / b es igual a se entrevé esto si pasamos la b dividiendo del lado izquierdo y la de dividiendo del lado derecho verdad entonces si esta relación entre los elementos lo que son las filas de la de la matriz si si las proporciones son iguales el singular ahora por ejemplo pueden ver que también si entre c es igual a b sobre de ok igual pasándola se dividiendo el lado izquierdo y la de dividiendo del lado derecho en este caso tenemos la proporción de los de las columnas verdad que tenemos en la matriz hecho estas dos expresiones son son equivalentes pero la proporción a sobre se iguala b sobre b esto nos estaría dando esta relación que el determinante se anula es decir que se hace cero pero esto se traduce en algo conocido para algunos problemas por ejemplo digamos que quiero ver el problema vamos a decir que tuvimos esta matriz que esta matriz representa un problema de una de un sistema de ecuaciones lineales entonces tengo a bs d que multiplica a x de que son mis dos variables desconocidas y quiero ver que esto es para qué valores xy es igual a efe ok donde son constantes entonces si tenemos esta ecuación representada por esta matriz esto se traduciría a que a equis verdad multiplicando el primer el primer renglón por la columna de esa x más bella igual a él y luego multiplicando la segunda fila perdón se x más de y es igual a muy bien y nos gustaría ver donde estos dos se cruzan verdad esto es lo que estamos diciendo geométricamente encontrar las soluciones ver dónde se cruzan las líneas que representan cada una de las ecuaciones entonces vamos a ponerlo en en términos de pendiente con ordenada al origen esto simplemente despejando y es igual a y es igual a menos a sobre b que multiplica a x más es sobre b verdad simplemente es passarella x restando y luego dividimos todo entre ve muy bien y entonces la segunda ecuación de la segunda ecuación que tenemos resolvemos para allí y tenemos que ya es igual a menos no sé sobre d por equis este es x lo pasamos al lado derecho verdad más efe sobre de muy bien así que vamos a pensar en esto vamos a pensar en esto aquí probablemente debería cambiar de color porque confuso pero vamos a pensar que en estas dos ecuaciones cómo se vería si tenemos esta condición que estoy en marcando en verde y dijimos si esto se cumple entonces no hay determinante y por lo tanto la matriz a no tiene inversa ok no se puede resolver entonces esta ecuación en teoría y vamos a ver porque esta inversa no existe vamos a suponer si esto es cierto no tendremos determinante pero como se ve esto intuitivamente en términos de las ecuaciones bueno si entre b es igual a c / d porque es decir si estos dos numeritos son iguales estas dos líneas tienen la misma pendiente ok así que estas dos expresiones son diferentes simplemente por la ordenada al origen verdad donde se intersectan con el eje pero no importa el chiste es que como tienen la misma pendiente entonces las líneas son paralelas permíteme dibujar estos digamos aquí están mis ejes ok entonces de esta línea de acá arriba déjenme déjenme pintarla ok no sé como sea pero bueno supongamos que es de este estilo esta es la primera línea su intersección con el eje es este verdad sobre b que es la ordenada al origen bien esta es esta línea esta de azul y luego la segunda línea déjenme hacerlo con otro color ok no sé si vaya a estar por arriba o por abajo el chiste es que tienen que ser paralelas y se verían algo así ok y esta línea se intersecta en este punto que es f sobre d sobre d así que entrevé efe sobre d son términos que podrían ser o no iguales por el punto es que las líneas nunca se cruzan bueno no se cruzan si estos términos entre b y f sobre y son distintos verdad entonces realmente no puedo resolver la ecuación si son iguales a entre b y c / de entonces las líneas son paralelas y entonces no se intersectan pero tú podrías decir oye bueno qué tal que / b y f sobre b son iguales verdad entonces en realidad estamos hablando de la misma línea y no sólo se cruzan sino que se intersectan en un número infinito de puntos de hecho son la misma línea verdad entonces no tendría una solución a esta ecuación tendría una infinidad sería cierto para muchísimos valores así que de cualquier forma yo no tendría una solución única entonces si la matriz es singular las las líneas que representan son paralelas o en realidad es la misma línea para el caso en que la ordenada al origen sean iguales no entonces en ese caso se cortaría o se intersectan en un número infinito de puntos y así es como tiene sentido que la inversa no está bien definida así que vamos a pensar ahora en el contexto de combinaciones de vectores lo que quería utilizar para borrar bien así que cuando pensamos en este problema en términos de combinaciones lineales de vectores se puede pensar que es así verdad digamos esto es este es el vector hace por equis más el vector de por qué y esto debe ser igual efe al vector efe así que vamos a pensar un poco lo estamos diciendo hay alguna combinación de los vectores de estos de hace y bd hay alguna combinación que me df pero acabamos de decir que aquí no tenemos una inversa debido a que el determinante es 0 entonces si el determinante 0 ya sabemos que en nuestra situación a sobre c es igual a beso breve aunque entonces a sobre a a perdona sobre se es igual a ver sobre de que nos dice eso déjenme dibujarlo y tal vez los números aquí también vamos a obtener intuición a partir de esto dibujamos el primer cuadrante va a suponer que ambos vectores están en el primer cuadrante de dibujarlo de esta forma el vector hace digamos déjenme hacerlo en un color distinto voy a señalar dónde está el vector hace así que aquí está el punto a él punto ok entonces este es el vector hacer quiero dejar todo esto limpio entonces el vector hace es este y le ponemos su flechita muy bien cuál sería el vector verde este vamos a hacerlo con amarillo bueno el vector verde lo podría dibujar podría haber varios casos déjenme ponerlo arbitrariamente pero estamos suponiendo que el determinante el determinante en este caso es 0 verdad entonces el determinante de la matriz es 0 y si no hay determinante sabemos que a sobre c es igual a b sobre d otra manera de ver es que sé sobre d es igual a d se sobre a perdón es igual a d sobre b así que si ambos empiezan en el punto cero quiere decir que no importa que tengan una magnitud distinta pero van en la misma dirección verdad entonces por ejemplo si aquí está b y aquí está d en el vector bebé va a estar por aquí verdad a lo mejor puede tener magnitud distinta al rosita pero lo importante es que van a apuntar van a apuntar en la misma dirección que hace que el vector se va esencialmente por encima del otro verdad va a tener la misma dirección que el vector anterior pero bueno va a tener una magnitud diferente verdad se podría se podría tener la misma magnitud quién sabe así que la pregunta es si podemos hacer una combinación lineal de estos dos vectores que en el vector efe pero por ejemplo supongan si usted es que este es el vector sf ok en un color diferente el vector efe está contado y flecha así que mi pregunta de si estos dos vectores que están en la misma dirección quizás con distinta magnitud hay alguna manera de que al sumarlos por cierto por cierta constante podamos generar al vector efe y todo lo que vamos a hacer si sumamos estos dos vectores el ac y el bebé simplemente vamos a obtener puntos de la misma dirección verdad no se puede llegar al vector efe porque necesitamos una dirección diferente así que en este en este problema no tenemos una solución verdad sólo si el f estuviera en la misma dirección que hace vd entonces podríamos tener una solución pero en este caso no entonces en dicho caso tendríamos una infinidad de soluciones pero si el vector es ligeramente diferente en términos de su dirección entonces no hay solución no hay combinación de este vector no lo hay que nos dé ese vector lf y si lo piensas un poquito bueno quizás pueda parecer algo obvio pero bueno tomar una suma de vectores cualquier otro vector digamos que esté fuera de esta línea amarilla ajá digamos este vector efe en realidad necesitamos empujar o sumar por un vector distinto a otro que esté en la línea para poder alcanzar este naranja verdad espero espero que ya te esté dando un poco de intuición quizás estoy hablando un poquito en círculos al respecto pero bueno al menos ya sabes lo que es una matriz singular y ya sabemos cuando no podemos encontrar su inversa verdad y esto es bueno