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La matriz cero y multiplicación de matrices

Tal como cualquier número multiplicado por cero es cero, también hay una matriz cero, tal que el producto de cualquier matriz por esta da por resultado la matriz cero. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

hemos estado haciendo analogías entre la multiplicación inusual que es la multiplicación aritmética y la multiplicación entre matrices y bueno la primera analogía que hicimos fue con la propiedad de identidad tenemos aquí al número uno y si lo multiplicamos por cualquier otro número nos queda pues ese otro número y entonces decimos que este número uno es el número identidad aunque hay que tiene la propiedad de identidad que es justo en esta propiedad y pues recordando que esto pasa entre los números entonces nosotros nos pusimos a pensar si hay algo parecido en las matrices y entonces empezamos a hablar de matrices identidad que si los multiplicamos por alguna otra matriz nos queda justo esa otra matriz y encontramos cuáles tienen que ser y cómo tienen que ser y bueno seguramente también te demostraste para ti mismo y hay una matriz que si ponemos una la matriz a por acá también tenemos una matriz identidad por acá que si multiplicamos a cualquier matriz por esta matriz identidad nos queda la matriz a que bueno en el caso en el que la matriz a es una matriz cuadrada o sea que tienen la misma cantidad de columnas que de filas entonces estas dos matrices identidad son la misma sin embargo así esta matriz no es una matriz cuadrada y no tiene el mismo número de filas que de columnas entonces estas dos matrices tienen la misma estructura que es puros unos en la diagonal y puros ceros en el resto de las entradas pero van a ser de una dimensión distinta en fin siguiendo con esto de las analogías entre la multiplicación de números y la multiplicación de matrices hay otro número que es súper importante a ver si tenemos cualquier número y lo multiplicamos por el cero pues nos queda cero y bueno de la misma forma si tomamos el 0 y lo multiplicamos por cualquier otro número nos queda el mismo 0 entonces vamos a ver lo análogo pero con la multiplicación de matrices lo análogo a esto pero para la multiplicación en primer tristes pues es muy parecido a lo que tenemos aquí o sea busquemos una matriz que no importa lo que pongamos aquí si las multiplicamos nos queda esta misma matriz y de la misma forma del otro lado o sea si tenemos por aquí esta matriz especial no importa por qué matriz la multiplicamos nos quede esta matriz especial y bueno como está tomando la propiedad del 0 en los números pues le vamos a llamar la matriz 0 así es que se trata de una matriz pero que si la multiplicamos por cualquier otra cosa nos queda una matriz 0 aunque bueno esta matriz no necesariamente va a ser exactamente igual a ésta definitivamente las dos van a ser matrices 0 pero sus dimensiones no necesariamente van a ser iguales si la matriz a no es una matriz cuadrada o sea no tiene el mismo número de columnas que de files entonces estas dos matrices van a tener dimensiones distintas y bueno la verdad me imagino que tienes una muy buena idea de cómo son las matrices 0 a ver veamos un ejemplo digamos que tenemos por aquí a la matriz a igual a 12 4 entonces la matriz de ceros tendría que ser pues podemos simplemente poner ceros aquí no entonces esto lo que nos quedaría es haber hacemos el producto punto de este vector 00 por 13 y nos queda 0 por 1 mes 0 por 3 que es un cero aunque y lo mismo pasa para el resto de estas entradas ok porque todas las entradas son cero entonces esta matriz cero por a es otra vez la matriz cero bueno a ver vamos a ver otro ejemplo 1 2 3 4 5 6 y entonces la matriz 0 pues mira esta matriz tiene dos filas entonces para que funcione la multiplicación entre estas dos matrices esta matriz tiene que tener dos columnas y pues le vamos a poner puros ceros pero esta matriz puede tener todas las filas que a mí se me ocurran ok entonces voy a ponerle tres filas de ceros y bueno aquí te voy a proponer que pongas una pausa y averigües cuál es la multiplicación de estas dos matrices pues lo primero que hay que hacer es ver qué dimensión tiene esta es una matriz de 3 por 2 y esta es una matriz de 2 x 3 ahora como el número de columnas de esta matriz y el número de filas de esta matriz son iguales entonces si está bien que estamos multiplicando estas dos matrices y también sabemos que la multiplicación de estas dos matrices base una matriz que tiene esta cantidad de filas y esta cantidad de columnas entonces es una matriz de tres por tres y bueno la verdad voy a dejar que tú hagas las cuentas pero se puede ver claramente que todas las entradas de esta matriz van a ser puros ceros cierto porque cada que tomemos una columna de aquí y la multiplicamos por alguna de estas filas nos va a quedar 0 entonces tomamos una matriz que no era cuadrada que no tenía la misma cantidad de filas que de columnas y la multiplicamos por una matriz 0 y lo que obtuvimos fue otra matriz 0 pero con una dimensión distinta a la matriz 0 con la que empezamos