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Visualizar potencias de números complejos

Aprende cómo se comportan las potencias de números complejos, al ver el efecto gráfico en el plano complejo.

La conexión entre i2=1 y el lugar donde vive i

Empezamos nuestro estudio de los números complejos al inventar un número, i, que satisface i2=1, y luego lo visualizamos colocándolo fuera de la recta real, una unidad sobre 0. Con las visualizaciones ofrecidas en el artículo anterior, ahora podemos ver por qué ese punto en el espacio es un hogar tan natural para un número cuyo cuadrado es 1.
Verás, la multiplicación por i da una rotación de 90 alrededor del origen:
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Puedes pensar que esto sucede porque i tiene valor absoluto 1 y ángulo 90, o porque esta rotación es la única manera de mover la malla (dejando fijo al 0) que coloca al 1 en el lugar donde se encuentra i.
Entonces ¿qué pasa si multiplicamos dos veces por i todo lo que está en el plano?
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Es lo mismo que rotar 180 alrededor del origen, que es la multiplicación por 1. Esto, por supuesto, tiene sentido, pues multiplicar por i dos veces es lo mismo que multiplicar por i2, que debe ser 1.
Es interesante pensar que si hubiéramos colocado i en algún otro lugar manteniendo su cualidad característica i2=1, no tendríamos una visualización tan clara de la multiplicación compleja.

Potencias de números complejos

Juguemos un poco con multiplicar repetidamente por algún número complejo.

Ejemplo 1: (1+i3)3

Toma el número z=1+i3, que tiene valor absoluto 12+(3)2=2 y ángulo 60. ¿Qué pasa si multiplicamos tres veces seguidas por z todo lo que está en el plano?
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Todo se estira en un factor de 2 tres veces, por lo que al final es estirado en un factor de 23=8. Del mismo modo, todo es rotado 60 tres veces seguidas, por lo que en total es rotado 180. Entonces, es lo mismo que multiplicar por 8. Así, (1+i3)3=8.
También podemos ver esto usando álgebra, como sigue:
=(2(cos(60)+isin(60)))3=23(cos(60+60+60)+isin(60+60+60) =8(cos(180)+isin(180))=8

Ejemplo 2: (1+i)8

A continuación, supón que multiplicamos todo sobre el plano por (1+i) ocho veces sucesivas.
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Ya que la magnitud de 1+i es
|1+i|=12+12=2,
todo debe ser estirado ocho veces en un factor de 2, siendo finalmente estirado en un factor de (2)8=24=16.
Dado que el ángulo de (1+i) es 45, todo es rotado 845=360 así que, en total, es como si no hubiéramos hecho ninguna rotación. Entonces, (1+i)8=16.
Alternativamente, la manera de ver esto con álgebra es
=(1+i)8=(2(cos(45)+isin(45))8=(2)8(cos(45++458 veces)+isin(45++458 veces))=16(cos(360)+isin(360))=16

Ejemplo 3: z5=1

Ahora comencemos con la pregunta inversa: ¿existe un número z tal que, después de multiplicarlo cinco veces por todo lo que está en el plano, las cosas vuelven al mismo lugar? En otras palabras, ¿podemos resolver la ecuación z5=1? La respuesta más simple es z=1, pero veamos si podemos encontrar otras.
Primero, la magnitud de tal número debe ser 1, ya que si fuera mayor el plano se estiraría y si fuera menor el plano se encogería. La rotación es un animal diferente, pues puedes volver al mismo lugar donde comenzaste después de repetir ciertas rotaciones. En particular, si rotas 15 de toda la vuelta, así:
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entonces hacerlo 5 veces seguidas te llevará a donde empezaste.
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El número que rota al plano de esta forma es cos(72)+isin(72), pues 3605=72.
También hay otras soluciones, como rotar 25 de toda la vuelta.
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O 15 de toda la vuelta en la otra dirección:
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De hecho, hermosamente, los números que resuelven la ecuación forman un pentágono perfecto sobre el círculo unitario:

Ejemplo 4: z6=27

Resolver la ecuación z6=27 significa encontrar un número z tal que multiplicar este número 6 veces seguidas lo estirará en un factor de 27 y lo rotará en un ángulo de 180, pues el signo negativo indica una rotación de 180.
Algo que se estirará por un factor de 27 después de 6 aplicaciones debe tener magnitud A276=3, y una manera de rotar 180 después de 6 aplicaciones es hacerlo por 1806=30 cada vez. Entonces, un número que resuelve la ecuación z6=27 es
3(cos(30)+isin(30))=3(32+i12)=32+i32
¡Sin embargo hay otras respuestas! De hecho, estas respuestas forman un hexágono perfecto sobre el círculo de radio 3:
¿Puedes ver por qué?

Resolver zn=w en general

Generalicemos los últimos dos ejemplos. Si se te dan los valores w y n y se te pide encontrar z (como en el último ejemplo, donde n=6 y w=27), primero debes encontrar la representación polar de w:
w=r(cos(θ)+isin(θ))
Esto significa que el ángulo de z debe ser θn y su magnitud Arn. De esta manera, multiplicar z un total de n veces hará una rotación de θ y un escalamiento por r, como lo hace w. Así,
z=Arn(cos(θn)+isin(θn))
Para encontrar las otras soluciones, debemos tener en mente que el ángulo θ pudo haber sido pensado como θ+2π, o θ+4π, o θ+2kπ para cualquier entero k, pues todos estos ángulos son en realidad el mismo. La razón por la que esto es importante es que el valor θn cambia si remplazamos θ por θ+2πk antes de dividir. Entonces, todas las respuestas están dadas por
z=Arn(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))
para algún valor entero de k. Estos valores serán diferentes para k entre 0 y n1. Cuando k=n, el ángulo θ+2nπn=θn+2π es el mismo que θn, pues los ángulos difieren en una rotación completa. Entonces, encontraremos todas las respuestas tomando k de 0 a n1.

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