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Usar matrices para representar datos: ganancias

Las matrices son básicamente tablas de valores numéricos. Pero quizás te sorprenda cuántas situaciones del mundo real puedes representar con esta estructura. Aquí, por ejemplo, representamos las ganancias de un juego: representamos los puntos que obtiene cada jugador en una versión elaborada de piedra, papel y tijera. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

Nos dicen: "Violeta y Lennox juegan una versión  elaborada del juego 'piedra, papel o tijeras',   donde cada combinación seleccionada otorga  un número distinto de puntos a la ganadora",   es decir: "piedra, papel o tijeras" -el juego  popular donde la piedra le gana a las tijeras,   las tijeras le ganan al papel y  el papel le gana a la piedra-,   pero ellas nos dan esta versión elaborada.  Cuando violeta gana, recibe 2 puntos;   cuando Lennox gana con piedra, recibe 3 puntos;  cuando Lennox gana con papel, recibe 2 puntos;   cuando Lennox gana con tijeras, recibe 1 punto,  y si ambas jugadoras eligen la misma opción,   ninguna recibe puntos, porque nadie gana esa  ronda. Después nos dicen: "Completa la matriz   para que represente su sistema de puntuación.  Esta matriz muestra el número de puntos que   recibe Violeta (un número negativo representa que  Lennox ganó esos puntos), donde las filas son las   opciones que puede elegir Violeta y las columnas  son las opciones que puede elegir Lennox". Bien,   y aquí tenemos la matriz a la derecha. Y te invito  a que pauses el video y, si tienes papel y lápiz,   intenta completarla por tu cuenta; así que  te invito a que consigas papel y lápiz. Bien, vamos a trabajar juntos. Recuerda: esta  matriz representa cuántos puntos obtiene Violeta   con cada combinación y si Lennox gana puntos,  entonces aparecerá como un número negativo   para Violeta. Así que veamos, si Violeta  elige piedra y Lennox también elige piedra,   entonces estamos en esta entrada, y ¿qué  pasará?, ¿cuántos puntos recibe Violeta? Bueno,   recordemos: si ambas jugadoras eligen  la misma opción, ninguna recibe puntos,   por lo tanto, si ambas eligen piedra  obtenemos un 0 en esta entrada. Y,   de una vez, ya sabemos que ocurre lo mismo  si Violeta elige papel y Lennox también:   en este caso Violeta gana 0 puntos, y, si  ambas eligen tijeras, también tendremos un   0 en esa entrada. Ahora, ¿qué pasará si Violeta  elige piedra y Lennox papel?, ¿qué ponemos en   esta entrada? Pausa el video y piénsalo:  Violeta elige piedra y Lennox elige papel. Bueno, sabemos que el papel le gana a la piedra,  entonces estamos en el caso donde Lennox gana   jugando papel, es decir, estamos en este escenario  donde Lennox obtiene 2 puntos. Ahora, recuerda   que esta matriz representa lo que gana Violeta,  entonces Violeta obtiene -2 puntos en este caso,   ya que los gana Lennox. Bien, vayamos a la  siguiente entrada. ¿Qué representa? Bueno,   representa que Violeta elige piedra y que Lennox  elige tijeras. Sabemos que la piedra le gana a las   tijeras, así que estamos en el escenario donde  gana Violeta, y sabemos que siempre que gana   Violeta obtiene 2 puntos, por lo tanto, en esta  entrada escribiremos un 2 positivo. Ahora ¿qué   hay de esta otra entrada?, ¿qué representa?  Bueno, representa que Violeta elige papel y   Lennox piedra, y sabemos que el papel le gana  a la piedra, así que estamos en otro escenario   donde Violeta gana y recibe 2 puntos: en cualquier  escenario en el que ella gane, recibe 2 puntos.   Ahora, ¿qué hay de este otro caso? Pausa el video  y piénsalo. Bueno, en este escenario Violeta elige   papel y Lennox tijeras; sabemos que las tijeras le  ganan al papel porque pueden cortarlo -supongo-,   por lo tanto Lennox gana eligiendo las tijeras, y  podemos ver por aquí que, cuando Lennox gana con   tijeras, recibe 1 punto. Entonces, ten cuidado,  podemos estar tentados a escribir un 1 por aquí,   pero hay que recordar que toda esta matriz  representa cuántos puntos obtiene Violeta,   y mencionamos que tendríamos un número negativo si  el punto lo obtiene Lennox. Bien, ahora pensemos   en nuestra última fila. ¿Qué representa esta  entrada y qué valor deberíamos obtener? Bueno,   aquí tenemos el caso donde Violeta elige  tijeras y Lennox, piedra. Sabemos que la   piedra gana a tijeras porque supongo que puede  golpearlas y, por lo tanto, en este caso,   Lennox gana utilizando la opción piedra; y  sabemos que, cuando Lennox gana con piedra   recibe 3 puntos. Si Lennox gana tres puntos y toda  esta matriz representa lo que obtiene Violeta,   entonces pondremos -3 en esta entrada, porque  son tres puntos para Lennox. Recuerda: un número   negativo representa que Lennox ganó esos puntos. Y  ahora tenemos esta última entrada. ¿Qué representa   esta entrada y qué valor deberíamos obtener?  Bueno, esta entrada representa que Violeta elige   tijeras y Lennox, papel. Sabemos que las tijeras  le ganan al papel porque pueden cortarlo y también   sabemos que cualquier escenario donde gana Violeta  obtiene 2 puntos, así que aquí pondremos 2 puntos,   justo así. Muy bien, una vez que llenamos la  matriz, es momento de responder esta pregunta:   suponiendo que Lennox elige su opción de manera  completamente aleatoria, ¿qué opción debería   elegir Violeta para maximizar sus posibilidades  de obtener la mayor cantidad de puntos? Pausa   el video y observa si esta matriz es útil para  encontrar esta respuesta. Bien, en definitiva este   no es un ejercicio de probabilidad, pero como un  pequeño repaso, una forma de pensarlo es que -no   sé-, cuando Violeta elige piedra, aquí tenemos los  posibles resultados que puede obtener. Ahora bien,   nos dicen que Lennox elige de forma aleatoria,  por lo tanto, existe ⅓ de probabilidad de que   elija piedra, ⅓ de probabilidad de que elija  papel y ⅓ de probabilidad de que elija tijeras,   y dado que la probabilidad de que ocurra cada  una de estas es la misma porque, dicen que   Lennox las elige de manera aleatoria, entonces,  por aquí podemos obtener lo que se conoce como   el valor esperado si calculamos el promedio  entre estos tres valores, es decir, podemos   obtenerlo multiplicando ⅓(0) + ⅓(-2) + ⅓(2) para  esta primera fila. Si quieres saber más sobre el   tema del valor esperado, puedes estudiarlo en  Khan Academy. Pero otra forma de pensarlo es,   simplemente, hacer la suma de estos tres valores  y dividirla entre 3. En esta primera fila,   si calculamos la suma será 0 - 2 + 2, lo que nos  da 0, y al dividirlo entre 3 obtendremos un valor   esperado de 0, en el escenario en el que Violeta  elige piedra y Lennox elige de manera aleatoria.   Ahora, para este segundo escenario, calculemos  el promedio: si realizamos la suma obtenemos   2 + 0 - 1, que es 1 / 3, nos da un valor esperado  de ⅓ para esta opción de Violeta. Y en este último   escenario, si sumamos estos tres valores  obtendremos -1 / 3, que es -⅓; por lo tanto,   podemos ver que el mejor valor esperado para  Violeta es cuando ella elige papel, suponiendo   que Lennox elige siempre de manera aleatoria. En  este caso tenemos un valor esperado de ⅓ positivo,   entonces ¿qué opción debería elegir Violeta para  maximizar sus posibilidades de obtener la mayor   cantidad de puntos? Papel. Ojo, es importante  recordar que en este caso asumimos que Lennox   siempre elige de manera aleatoria; obviamente  si Lennox descubriera que Violeta siempre elige   papel, entonces ajustaría su estrategia,  pero esto se vuelve un poco más complicado.