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Problema verbal de vectores: jalar la cuerda

Resolvemos un problema verbal en el que tres fuerzas vectoriales con diferentes magnitudes y direcciones actúan sobe un anillo. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

dejando el puesto remoto un alejandro salió en un viaje de tres días al desierto su desplazamiento distancia y dirección del inicio al final del primer día es de 1 el vector de uno que es igual a tomar unos tres veces el vector unitario y más siete veces el vector unitario j su desplazamiento del inicio al final del segundo día es decir de dos el vector de dos que por cierto es lo mismo que menos una vez el vector unitario y más ocho veces el vector unitario jota y aquí están su desplazamiento del primer día fue justo a este y su desplazamiento del segundo día fue justo este su desplazamiento en el tercer día el vector de subíndice 3 lo llevó de regreso al puesto remoto es decir de subíndice 3 lo va a regresar al punto de partida ok las distancias anteriores están en kilómetros cuál fue la distancia que alejandro viajó en el tercer día redondea a la décima más cercana en qué dirección viajó alejandro en el tercer día al grado más cercano tu respuesta debe estar entre 0 y 360 grados así que como no podemos trabajar en la página del navegador de internet entonces voy para camps y voy a sacar aquí mi libreta de apuntes ya está aquí tengo justo el mismo problema y date cuenta que es lo que nos preguntan es qué va a pasar con este vector de subíndice 3 y bueno de una vez quiero dibujarlo este vector de subíndice 3 es un vector que va a empezar aquí y que me va a regresar al punto de partida es decir me va a regresar justo aquí atrás la magnitud y la dirección de este vector es atrás lo que voy es decir este es mi vector que me va a importar saber su magnitud y su dirección así que déjenme poner que este es el vector de de subíndice 3 ok este es el vector del cual quiero saber su magnitud y su dirección y bueno para resolver este problema lo que quiero que te des cuenta es que este vector está muy relacionado con el vector de subíndice 1 y con el vector 2 de hecho este vector se parece mucho a la suma del vector de subíndice 1 y del vector de subíndice 2 la única diferencia es que va en dirección contraria en sentido contrario si nos fijamos en la suma de t subíndice 1 y de subíndice 2 bueno pues será un vector que se vería más o menos así sería un vector que se tendría la misma magnitud algo exactamente igual ok pero que apuntaría hacia el lado contrario apuntaría para acá entonces si te das cuenta este subíndice 3 es menos la suma de estos dos y lo voy a poner signo negativo para que vaya en sentido contrario eso es muy importante si yo tengo un vector aquí le voy a poner mi vector am ok mi vector menos am va a tener la misma magnitud que el vector a solamente que va a apuntar en sentido contrario éste sería menos mi vector y de lujo por lo tanto este vector de tres y para no confundirnos mejor déjame quitar todo esto que tengo aquí a mi vector de 3 va a ser menos la suma de estos dos y déjame ponerlo así el vector de 3 es exactamente lo mismo vector de 3 que la suma de estos dos ok pero con signo contrario así que déjame ponerlo aquí es observación es muy importante este vector de 3 es exactamente lo mismo que el vector de 1 ok a esto le voy a sumar el vector de 2 vamos a sumarle el vector de 2 el vector de 2 y cuando yo me tomo la suma va en sentido contrario así que para que esto tenga la dirección que yo quiero me voy a tomar esta suma pero negativa me voy a tomar esta suma pero negativa de lujo ahora lo bueno de esto es que tenemos expresado al director de uno en sus componentes rectangulares y también al vector de 2 por lo tanto podemos tomarnos esta suma de una manera muy fácil así que déjame escribirlo aquí esto va a ser exactamente igual 12 - 1 que multiplica al vector de uno pero el vector de uno lo podemos descomponer en esta que es mi componente horizontal es decir tres veces el vector unitario y ok ya esto le sumamos lo voy a poner con este color le voy a sumar siete veces el vector unitario jota más siete veces el vector unitario jota esto es lo mismo que el vector de uno y por otra parte el vector de dos está representado por estos dos componentes van por una componente horizontal que es esta menos una vez el vector unitario y menos el vector unitario y ok ya esto am le voy a sumar ocho veces el vector unitario j a esto le voy a sumar ocho veces el vector unitario jota y de lujo así nos podemos tomar la suma estos dos vectores de una manera muy sencilla así que déjame cerrar aquí este paréntesis y bueno esto es exactamente lo mismo que menos a abramos paréntesis otra vez tres veces el vector unitario y menos una vez el rector un interior y bueno pues son dos veces el vector unitario y ok de lujo y por otra parte tengo siete veces el vector unitario jota más ocho veces el vector auditorio j eso es lo mismo que 15 8 + 7 es 15 15 veces el vector unitario jota de lujo y ahora sí ya tengo de una manera muy fácil de una manera representada en sus dos componentes a este vector de tres este vector de tres déjame ponerlo así es exactamente lo mismo que menos dos veces menos dos veces el vector unitario y ok ya esto le voy a restar a 15 veces el vector unitario jota y de lujo ya tengo a este efector de tres visto como la suma de la forma escalada de los vectores rectangulares y por lo tanto ya tenemos cuáles son los componentes rectangulares de este vector de tres y es más lo podemos ver justo aquí en este vector de 3 para formarlo hay que caminar dos unidades hacia la izquierda es decir hasta acá ok caminamos dos unidades y después hay que bajar 15 unidades de manera vertical ok y después hay que bajar am y déjame cambiar de color después voy a bajar a 15 unidades hasta llegar aquí ok de lujo estas son mis dos componentes rectangulares de este vector ahora quiero que te des cuenta que entonces estamos formando un triángulo rectángulo este triángulo rectángulo de aquí y por lo tanto ya podemos saber cuál es la magnitud de este vector de 3 y de lujo ya podemos saber cuánto vale la magnitud déjame ponerlo así la magnitud de este vector de 3 ok tomándonos un teorema de pitágoras muy sencillo esto es lo mismo que la raíz cuadrada que la raíz cuadrada de el cuadrado de cada una de las magnitud de estas dos componentes es decir 2 su magnitud elevado al cuadrado me va a quedar 4 ok ya esto le voy a sumar 15 15 elevado al cuadrado lo cuales 225 y vamos a corroborarlo para eso voy a tener acá a mi calculadora anda tengo justo por acá y ahora voy a hacer 15 elevado al cuadrado de lujo 225 le voy a sumar 4 y ahora a esto le voy a sacar raíz cuadrada es 15.13 ahora si lo redondeamos en la décima más cercana esto es aproximadamente 15.1 así que vamos a escribirlo esta está que es mi magnitud de este vector de 3 es aproximadamente aproximadamente y lo voy a poner con este color 15.1 de lujo así que aquí en esta respuesta va 15.1 kilómetros de luz ya tenemos la primera respuesta que es la distancia que va a viajar alejandro desde donde se quedó en el día 2 hasta el punto inicial es decir la magnitud de este vector de 3 ahora lo que nos hace falta es saber la dirección de este vector de 3 y para eso voy a bajar un poco la pantalla bajemos un poco la pantalla la voy a bajar justo por la cama para que nosotros podamos trabajar con esta dirección y bueno para sacar esta dirección ahora para sacar el ángulo que te parece si hacemos un pequeño esquema de lo que está pasando justo aquí este vector de 3 está apuntando hacia abajo se ve más o menos así y es más déjame hacer su pequeña flecha ok este es mi vector de 3000 vector de 3 ok y está apuntando hacia abajo ok y lo que quiero que te des cuenta es que tenemos dos componentes una componente la cual es la componente horizontal es esta de aquí a la cual ya sabemos que vale menos dos veces sí ok vamos a poner que esta es mi componente horizontal y vale menos dos veces el vector unitario y también tenemos una componente vertical y esa componente vertical la voy a poner este color para que no nos afecte le voy a poner con este color ok y apunta hacia abajo ok y también sabemos su magnitud su magnitud es menos 15 veces el vector unitario jota ok esto es menos 15 veces el vector unitario jota es decir esta parte de aquí esta parte de aquí esta parte de aquí esta parte de aquí de lujo ahora lo que quiero que te des cuenta es que este vector de 3 el vector que nos va a llevar de nuevo al punto inicial está apuntando hacia abajo es decir que si aquí tenemos a un plano que ya no puede dibujar aquí un eje lo que me interesa ver es este ángulo de aquí hasta acá porque es un vector que está apuntando hacia abajo sin embargo si nosotros utilizamos el conocimiento de las funciones trigonométricas el conocimiento de las funciones trigonométricas nos va a trabajar con este triángulo rectángulo y por lo tanto nos va a sacar solamente este ángulo de aquí este ángulo de aquí no nos va a sacar todo este ángulo completo sin embargo no está tan difícil encontrar todo este ángulo completo porque todo este ángulo completo es lo mismo que 180 grados antes de ponerlo con este color de aquí y hasta acá hay 180 grados ok 180 grados más este pequeño ángulo de color amarillo que tenemos aquí más este ángulo que tenemos aquí así que si nosotros calculamos este ángulo que tenemos aquí y le sumamos 180 grados entonces ya tenemos el ángulo completo desde aquí hasta acá que apunta hacia abajo que nos dan una dirección de este vector de 3 que apunta hacia abajo así que para eso vamos a trabajar con este triángulo que tenemos aquí para calcular este ángulo que le voy a poner teta y para calcular este ángulo que le voy a poner theta vamos a fijarnos en este triángulo este triángulo tiene como el lado adyacente a este ángulo theta un valor de 2 de 2 unidades como ángulo opuesto a este ángulo theta un valor de 15 unidades y por lo tanto podemos pensar en él cuál es la función trigonométricas que me junta al catetos yacente con el cateto opuesto y bueno seguramente me vas a decir que es la tangente así que déjame escribirlo así la tangente la tangente de este ángulo teta es exactamente lo mismo que su lado opuesto pero lo que vale el lado opuesto es 15 vamos a ponerlo con este color lo que vale el lado opuesto es 15 que es la magnitud de este vector entre a lo que vale la magnitud de este otro vector de este otro lado el lado adyacente que es 2 ok o dicho de otra manera como nosotros queremos saber este ángulo habrá que calcular a déjame ponerlo así de aquí podemos obtener a déjame ponerlo así que este ángulo es exactamente lo mismo que la tangente inversa que la tangente inversa de esta división que tengo aquí de 15 entre 2 de 15 32 entre 2 o keith así que es hora de sacar de nuevo la calculadora y ver cuánto vale este ángulo theta que tenemos aquí así que vamos a tenerla aquí voy a hacer 15 lo voy a dividir entre 2 ok ya esto le voy a sacar am con la segunda función la tangente inversa 10 82.4 82.4 así que lo voy a poner aquí te dan de eta es exactamente igual que 82.4 grados ok y si ahora a este ángulo theta que solamente es esta parte de aquí le sumamos 180 nos va a dar el ángulo completo así que 82.4 grados más 180 bueno pues eso no es tan difícil esto a mí déjame ponerlo con este color blanco este ángulo que va desde aquí hasta acá y es exactamente igual que me dejaban ponerlo así 180 más 82 es 260 260 grados ok y bueno lo pongo sin punto decimal porque dice redondea al grado más cercano así que déjame ponerlo aquí ya tenemos la respuesta esto es exactamente igual que 262 grados así que es hora de comprobar nuestra respuesta voy a traer para acá nuestro navegador de internet y ahora sí voy a poner la respuesta activa 15.1 ok aquí abajo va 262 ok y comprobamos respuesta ahí de lujo estamos bien