Integrales: Oferta y demanda

vamos a calcular la fórmula de una integral definida para calcular el excedente de producción de vasos de refresco para ello nos apoyaremos en una gráfica donde observamos dos rectas que nos muestran la relación de oferta y demanda de este producto en el mercado cada una de estas rectas está representada por una ecuación la oferta porque igual a 2 x 5 y la demanda porque igual a menos x más 23 esas ecuaciones nos ayudarán más adelante analicemos la gráfica como puedes ver el eje i está representando el precio de un producto supongamos que podemos vender un vaso de refresco mínimo en cinco pesos y máximo en 23 así vemos que a mayor precio la demanda baja en el eje x se representa la cantidad de vasos que se deben vender para recuperar lo que se invirtió y para tener ganancias esto nos permite ver que a medida que el precio baja los consumidores van a querer comprar más y por eso la recta de la oferta sube al trazar el punto de intersección entre ambas rectas obtenemos el punto de equilibrio que es el número de vasos de refresco que deberán venderse como mínimo para recuperar los gastos que se invirtieron en la venta del producto de acuerdo con la gráfica como mínimo se deben vender 6 vasos de refresco a un precio de 17 pesos logras observar que al marcar estás últimas líneas punteadas se forme un triángulo justamente vamos a trabajar en esta área para aplicar nuestra integral definida y calcular el excedente de producción lo que vamos a calcular son las ganancias de la venta de vasos de refresco las cuales están representadas en la gráfica por el área asombrada en color amarillo entre el 5 y el 17 en administración se le conoce como excedente de producción para calcular el área asombrada en amarillo apliquemos la fórmula de una integral definida la integral desde a hasta de fx diferencial de x antes de sustituir los datos en nuestra fórmula vamos a establecer el intervalo donde queremos calcular el área ósea de 0 a 6 que son los puntos en el eje x que vemos resaltados en color rosa después nuestro precio de 17 pesos menos la ecuación de nuestra demanda que es 2 x + 5 por la diferencial de x con estos datos la fórmula quedaría de la siguiente manera la integral de 0 de 17 menos 2 x 5 de diferencial de x vamos a eliminar el paréntesis multiplicando por menos 2 x 5 lo cual queda simplificado como 17 menos cinco como tenemos tres términos de nuestro integral primero reduciremos términos semejantes así que a 17 le arrestaremos 5 y nos da 12 entonces sería la integral de 0 a 6 de 12 menos 2x diferencial de x ahora vamos a separar cada uno de estos términos porque aplicaremos la propiedad que nos dice que si existe la suma o resta de dos o más funciones podemos distribuir la integral entre cada término por lo que nuestra expresión quedaría como la integral de 0 a 6 de 12 diferencial de x menos la integral de 0 a 6 de menos 2x diferencial de x una vez separados vamos a integrar cada uno de nuestros términos para ello aplicaremos una segunda propiedad que indica que al encontrarse una constante ésta se puede sacar de la integral en este caso el 12 aplicando la propiedad nos queda 12 por la integral de 0 a 6 diferencial de x en seguida aplicaremos la siguiente fórmula que nos ayudará a obtener la integral de la diferencial de x por lo tanto nuestra primera integral queda así 12 x para la integral de 0 a 6 de 2x diferencial de x vamos a sacar el menos y el 2 porque también son constantes para esto aplicaremos otra fórmula que es la integral de x a la n por la diferencial de x que es igual a x a la n 1 sobre n 1 así que la segunda parte de la integral queda menos 2 que son las constantes que sacamos por x al cuadrado entre 2 que es el resultado de nuestra integral después resolver nuestra segunda integral si dividimos el 2 entre 2 nos da como resultado 1 quedando solamente menos x al cuadrado vamos a juntar los dos resultados de nuestras integrales menos x al cuadrado más 2x y ahora vamos a evaluar en el intervalo dado que es de 0 a 6 recuerda que para evaluar se sustituye el valor que nos dieron para los intervalos tomando en cuenta que primero se evalúa el intervalo mayor en este caso 6 y se resta el intervalo menor o sea 0 finalmente obtenemos el valor de 36 que corresponde al excedente de producción lo cual representa las ganancias adicionales que se tienen por la venta de vasos de refresco