Problema de probabilidad con cumpleaños

vamos a resolver ahora un problema de probabilidad que de hecho fue enviado a sal por alguien que ve el canal en inglés de canacar de mini así que bien vamos a considerar lo siguiente tenemos 30 personas 30 personas y estas personas son elegidas de manera aleatoria no hay ningún ningún patrón para elegir las digamos que es un salón de clases o algo así y nos preguntamos bueno cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas al menos 2 compartan compartan su cumpleaños compartan cumpleaños fecha de nacimiento cumpleaños y esto es exactamente lo mismo que preguntarse bueno cuál es la probabilidad de alguien alguien tenga el mismo cumpleaños mismo cumpleaños que alguien más y alguien más eso estuvo largo y bueno este problema si lo atacó como vengo atacando la mayoría de los problemas sería un dolor de cabeza porque fíjense no es la probabilidad de que exactamente dos personas compartan cumpleaños es la probabilidad de que al menos dos compartan cumpleaños entonces podría por ejemplo calcular la probabilidad de que exactamente dos compartieran su cumpleaños luego de que tres compartieran su cumpleaños nuevo de que exactamente cuatro compartieron su cumpleaños y así hasta 29 y luego 30 sería un dolor de cabeza serían muchísimas cuentas y realmente no quiero hacer eso así que mejor vamos a usar un pequeño truco este truco de hecho es bastante útil imagínense que todos estos son los eventos posibles son todas las posibles combinaciones de cumpleaños que pueden haber en este grupo de 30 personas entonces vamos a suponer que este cacho verde de aquí este cacho verde son precisamente todos los eventos donde alguien comparte cumpleaños con alguien más todo esto ver desde aquí son los eventos o las formas de escoger los cumpleaños de las personas de manera que alguien comparta cumpleaños con alguien más y lo que quiero encontrar es precisamente esta probabilidad la probabilidad de que alguien comparta cumpleaños con alguien más la voy a anotar por ser de compartir entonces bien qué es todo esto que está acá afuera que es todo lo que está dentro del rectángulo amarillo pero no está en verde pues esto sería el caso o los casos donde nadie comparte cumpleaños con nadie comparte cumpleaños con nadie o lo que es lo mismo todos tienen cumpleaños diferentes todos tienen cumpleaños cumpleaños diferentes toda esta región de aquí es eso vamos a escribir la probabilidad de estar aquí en la parte roja como la probabilidad de que sean diferentes los cumpleaños de de diferente qué sucede pues yo tengo que estar parado tengo que elegir algún evento de dentro del rectángulo amarillo esta parte ya se hizo verde pero bueno dentro de todo este rectángulo así que puede estar aquí o estar acá de modo que si lo que quiero es calcular esta probabilidad pues la probabilidad de estar en cualquiera de los dos de estar en cualquier parte de este rectángulo es 1 así que la probabilidad de estar aquí va a ser 1 - la probabilidad de estar en lo rojo o dicho de otro modo que quizás sea más útil la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños más la probabilidad de que todos los cumpleaños sean en fechas distintas sumados me deben de dar uno porque todos los eventos son alguno de estos dos casos o todos los cumpleaños son diferentes o alguien comparte cumpleaños con alguien más y además si alguien comparte cumpleaños con alguien más no puede ser que todos los cumpleaños sean distintos así que son mutuamente excluyentes y son todos los casos pero bueno entonces la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños va a ser igual a uno menos la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos bien vamos a calcular entonces cuál es la probabilidad de que todos los cumpleaños caigan en fechas distintas y vamos a suponer que solo tenemos dos personas persona 1 y persona 2 en este caso la persona 1 su cumpleaños puede ser cualquier día del año puede ser cualquiera de los 365 días que tiene el año así que su cumpleaños puede ser 365 días disponibles de entre 365 días que tiene el año que de la persona 2 pues para que el cumpleaños de la persona 2 sea distinto desde la persona uno ya use uno de los días así que solo puedo elegir entre 364 días de entre 365 días que tiene el año esta es la probabilidad de que el cumpleaños de la persona 2 no coincida con el de la persona 1 este producto y cuánto es esto pues lo voy a escribir así aunque parezca que no tiene mucho sentido 365 por 364 entre 365 al cuadrado y lo que quiero al no cancelar un 365 del numerador con 1 del denominador es que vean un patrón que empezará a surgir qué hay de si tengo tres personas personas 1 personas 2 y persona 3 en ese caso la primera persona su cumpleaños puede ser cualquiera de los 365 días de entre los 365 días que tiene el año la probabilidad de su cumpleaños de la persona 2 puede ser cualquiera de los 364 días que me quedan ya que use uno de entre los 365 días que tiene el año la persona 3 su cumpleaños ya hace 2 días para las personas 1 y 2 así que su cumpleaños tiene que caer en alguno de los 363 10 restantes entre los 365 días que tiene el año y esta sería la probabilidad de que ninguna de estas tres personas tenga su cumpleaños en la misma fecha y cuánto es esto pues es 365 por 364 por 363 entre 365 ahora al cubo y así que qué pasaría si continúo hasta que tengo 30 personas pues entonces en el caso de 30 personas personas tendría que la probabilidad es 365 por 364 por 363 así como estaba pasando acá y así continuaría multiplicando hasta multiplicar 30 números así que me detendría en el 336 esas serían 30 números y dividiría entre 365 la 30va potencia pero esto es muy complicado de escribir en una calculadora así que les pregunto hay algún modo de escribir esto que involucre a los factoriales y pues sí sí lo hay pero cuál es pues muy bien si consideramos cuánto es 365 factorial pues por definición esto es 365 por 364 por 363 por 362 por 361 y así hasta llegar a 2 y eventualmente a 1 ahora bien si me fijo en este numerador sólo tengo dos términos estos primeros dos así que podría dividir toda esta expresión entre trescientos sesenta y tres por 362 por 361 hasta que eventualmente multiplique a dos por uno por dos por uno y qué es esto de aquí pues esto de aquí es precisamente 363 factoriales así que esto cancelaría a esto y nos quedaríamos exactamente con la parte que quiero pero otra cosa que es importante es de dónde sale este 363 pues en este caso sólo quería dos términos arriba sólo quería estos dos términos y 363 es precisamente 365 menos 2 así que esto lo podría decir escribir como 365 factorial entre 360 y 3 - 2 factorial así que todo esto todo esto de aquí sería igual a 365 factorial / 363 menos 2 factorial dividido entre 365 al cuadrado quizás déjenme repintó esto para que parezca una potencia muy bien qué sucede en este caso pues en este caso de nuevo tendría 365 factorial 365 factorial pero ahora quiero 3 términos así que voy a hacer 365 menos 3 factorial y todo lo voy a dividir entre 365 al cubo y esto cuánto me dan 365 factorial es 365 por 364 por 363 por 362 etcétera etcétera dividido entre 365 3 362 factorial sería entre 362 por 361 etcétera etcétera y todo eso entre 365 al cubo ahora bien toda esta parte de aquí cancelaría a la parte correspondiente de acá arriba lo que me queda que desafortunadamente no me ocupo y todo eso lo voy a dividir entre 365 al cubo ok así que siguiendo esta misma lógica estoy acá lo podría escribir como 365 factorial / ahora quiero 30 términos así que entre 365 menos 30 factorial dividido entre 365 a la 30va potencia la potencia 30 y esto cuánto es ahora si voy a sacar mi calculadora de hecho en gran medida todo esto fue para poder escribirlo rápido en la calculadora porque ya sé dónde está el botón de factorial bien entonces 365 factorial entre 365 menos 30 y 335 factorial todo eso dividido entre 365 elevado a la potencia 30 y la calculadora nos dice que eso es 0.29 36 así que esto vale 0.29 36 o si lo quiero escribir como un porcentaje es el 29 punto 36 por ciento sólo multiplicó por 100 y agregó el símbolo de porcentaje pero nosotros no queríamos la probabilidad de que las 30 personas tuvieran un cumpleaños diferente que es esta de aquí nosotros queríamos la probabilidad de que compartieran un cumpleaños al menos dos personas que habíamos visto acá arriba que era 1 - la probabilidad de que todos los cumpleaños fueran distintos así que esto es 1 - la probabilidad de que sean distintos o lo que es lo mismo esto es 1 - 0.29 36 y cuánto es eso quiero uno menos los de arriba menos en el resultado y eso es 0.7063 y algo más así que esto fue 0.7063 o escrito como un porcentaje fue aproximadamente el 70.6 por ciento de los casos lo cual es bastante sorprendente de hecho esto es bastante interesante porque si pones a 30 personas en un cuarto y te preguntas cuál es la probabilidad de que comparta un cumpleaños en principio uno esperaría que fuera un número relativamente bajo pero es bastante alto de hecho la mayoría de las veces vas a compartir cumpleaños con alguien en tu grupo de clases si es que tu clase tiene al menos 30 personas claro pero bueno espero les haya gustado este vídeo