Probabilidad condicional con combinatoria

bienvenidos de vuelta en este vídeo quiero hacer un problema que nos sirva de repaso de todos los conceptos que hemos visto de probabilidad y algunos de probabilidad condicional entonces bien supongamos que tengo la siguiente situación tengo una bolsa y en esa bolsa tengo cinco monedas justas cinco monedas justas gustas que recuerden una moneda justa tiene 50% de probabilidad de salir águila y 50% de salir sol y además de estas cinco monedas justas voy a suponer que tengo 10 monedas injustas monedas y justas y que sería una moneda injusta pues una moneda que tiene distintas probabilidades de caer águila y oca del sol por ejemplo vamos a suponer que estos tienen un 80 por ciento de probabilidad de caer águila y un 20 por ciento de probabilidad de caer sol y bueno la situación va a ser la siguiente yo voy a meter mi mano a esta bolsa con 15 monedas y voy a sacar una moneda aleatoriamente después me voy a echar 6 volados y de esos volados voy a suponer que 4 4 de 6 fueron águilas fueron águilas en mis volados y entonces me pregunto bueno ya que sé que cuatro de seis de mis volados fueron águilas cuál es la probabilidad de que escogí una moneda justa escoger moneda justa dado que saque 4 de 6 águilas en una serie de volados eso es lo que quiero encontrar y bien para hacer lo vamos a recordar brevemente el teorema de beuys teorema de beige en probabilidad condicional veis se escribe valles pero como esta era una persona inglesa tomás veis entonces se pronuncia veis quizás también lo conocen como el teorema de valles pero bueno lo que nos dice es que la probabilidad de que suceda un evento y un evento ve esto es normalmente la intersección en conjuntos entre conjuntos pero lo vamos a considerar como a y b esto va a ser igual por un lado va a ser la probabilidad de ha dado b por la probabilidad de b pero eso también va a ser igual también va a ser igual a la probabilidad de b dado a por la probabilidad de ar si esto no le suena familiar les recomiendo que le echen otro vistazo a los vídeos en probabilidad condicional pero bueno ya en estas ecuaciones digamos de ésta de esta yo podría dividir todo entre la probabilidad de ve y decir que la probabilidad de a lado b es igual a la probabilidad de b dado a por la probabilidad de a dividido entre la probabilidad de b así que esto nos puede ayudar a encontrar está probabilidad en este caso en este caso a sería escoger escoger moneda justa nada justa y ve sería sacar 4 de 6 águilas es decir en una serie de seis volados sacar cuatro águilas exactamente entonces vamos a utilizar esta fórmula de aquí está para tratar de encontrar la probabilidad que buscamos la parte más complicada va a ser encontrar la probabilidad de be que sería la probabilidad en general de sacar cuatro de seis águilas con cualquiera de las monedas en la bolsa y quizás estos dos no salgan de pilón por el camino bien entonces para encontrar la probabilidad total o general de sacar cuatro de seis águilas en una serie de volados vamos a considerar qué pasa cuando apenas meto mi mano en la bolsa pues al meter mi mano en la bolsa y sacar una moneda pueden pasar dos cosas o saco una moneda justa digamos que moneda justa qué porcentaje de probabilidad tendría pues si hay cinco monedas justas y hay quince monedas en total entonces tengo cinco entre 15 de probabilidad de sacar una moneda justa 5 entre 15 es simplemente un tercio o también podría sacar una moneda injusta y cuál es la probabilidad de que saque una moneda injusta pues ahora tengo 10 monedas injustas entre 15 monedas en total sería 10 entre 15 que es dos tercios ok entonces supongamos que saque una moneda justa ya que hice eso cuál es la probabilidad de que con esa moneda saque cuatro de seis águilas pues consideremos un evento arbitrario en el que sacó cuatro de seis águilas podría hacer algo así como águila sol águila águila sol águila o algo como sol águila águila águila sol águila y cuál es la probabilidad de algunos de estos eventos cualquiera pues sería un medio de probabilidad de sacar sol en el 1er volado por un medio de probabilidad de sacar águila en el segundo por un medio del tercero por un medio del cuarto quinto y sexto es decir la probabilidad de un evento cualquiera en el que sacó cuatro águilas exactamente sería uno entre dos a las seis y esta es la probabilidad para cualquiera de los eventos en los que sacó cuatro de seis águilas también para este porque en todos simplemente es un medio por un medio por un medio por un medio por un medio por un medio uno entre dos a las seis y cuantos de estos eventos tengo digamos que de nuevo soy el dios de la probabilidad entonces lo que tengo que hacer es elegir cuatro de los volados para que salgan águilas y la forma de considerar eso es como ya hemos visto considerar el coeficiente binomial de seis en cuatro o las combinaciones de seis elementos tomados de cuatro en cuatro así que tengo esta cantidad de formas de sacar exactamente cuatro águilas multiplicadas por la probabilidad de sacar águila en cada una de ellas cuatro águilas en cada una de ellas que es uno entre dos a las seis y este número con tres el coeficiente binomial de seis en cuatro es seis factorial entre cuatro factorial por seis menos dos factoriales es decir dos factorial y todo esto por uno entre dos a las seis y esto cuánto es pues 6 factoriales 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1 4 factorial va a ser 4 por 3 por 2 por 1 por 2 factorial que va a ser 2 por 1 y todo eso por 1 entre 2 a la sexta que es uno entre 64 ok vamos a cambiar de color para que no sea muy monótono esto cuánto es esto pues este 4 3 2 1 cancela este 4 por 3 por 2 por 1 este 2 lo puedo cancelar con este 6 convertir el 6 en un 3 este 1 lo puede ignorar y me queda 3 por 5 que es 15 por 1 entre 64 o lo que es lo mismo 15 entre 64 y esto va a ser la probabilidad de que con una moneda justa haya sacado exactamente 4 águilas es decir esto es la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas dado que tengo una moneda justa es decir esto es la probabilidad de b dado a pero todo esto fue con la suposición de que sacaba una moneda justa que hay si saco una moneda injusta entonces vamos a ver un evento arbitrario vamos a usar este nuevo sería algo en la forma son águila águila águila sol águila y cuál es la probabilidad de este evento cuál es esta probabilidad pues ahora tengo 0.8 de probabilidad de sacar águila y 0.2 de sacar sol así que esta probabilidad sería 0.2 de sacar sólo en el primero por 0.8 de sacar águila en el segundo por 0.8 de sacar águila en el tercero punto 8 de sacar águila en el cuarto por 0.2 de sacar águila perdón sólo en el quinto volado por 0.8 de sacar águila en el sexto volado así que esto sería 0.8 a la cuarta por 0.2 al cuadrado y este número es independiente del orden en el que me salgan las águilas y los soles lo que importa es que me salen exactamente cuatro águilas así que esa es la probabilidad de cada uno de estos eventos y cuántos de estos eventos tengo pues de nuevo tendría seis en cuatro las combinaciones de seis en cuatro así que la probabilidad de sacar exactamente cuatro águilas con una moneda injusta sería las combinaciones de seis en cuatro las maneras de elegir cuatro elementos de entre seis por la probabilidad de cada uno que es 0.8 a la cuarta por 0.2 al cuadrado y esto es 6 en 4 ya habíamos visto que era 15 así que esto es 15 por 0.8 a la cuarta por 0.2 al cuadrado y esto de aquí ahora es la probabilidad de que saque 4 de 6 águilas la probabilidad de b ya no con una moneda justa sino con una moneda injusta dado que tome una moneda injusta bien ahora cuál es la probabilidad total de sacar exactamente 4 águilas pues va a ser precisamente la suma de la probabilidad de que escogió una moneda justa por la probabilidad de sacar cuatro águilas con la moneda justa más la probabilidad de haber sacado una moneda injusta por la probabilidad de sacar exactamente cuatro águilas con la moneda injusta es decir va a ser un tercio un tercio que es la probabilidad de sacar una moneda justa por la probabilidad de sacar cuatro águilas con una moneda justa que es precisamente esta de aquí entonces va a ser un tercio por 15 entre 64 más la probabilidad de sacar una moneda injusta dos tercios por la probabilidad de sacar cuatro águilas con la mano injusta qué es esto de aquí es decir por por 15 por 0.8 a la cuarta por 0.2 al cuadrado y esto cuanto después si simplificó esto lo podría escribir como 15 entre 3 55 entre 64 más 15 entre 3 de 9 5 5 por 2 es 10 por 0.8 a la cuarta por 0.2 al cuadrado y déjenme saco mi calculadora bien entonces esto va a ser 5 entre 64 + 10 por 0.8 a la cuarta por 0.2 al cuadrado si esto es 0.24 19 que y entonces todo esto me daba 0.24 19 y había un 65 por ahí al final o escrito como un porcentaje esto es el 24 punto 19 65% de los casos de modo que esto de aquí es precisamente la probabilidad de obtener exactamente cuatro de seis águilas es decir la probabilidad de de nuestra anotación muy bien y con esto ya estamos listos para resolver el problema déjenme copias de aquí esta formulita que deducimos del teorema y vice copio y la pego por acá abajo pegarla aquí y déjenme la traduzco recuerden esto es lo que me está diciendo es la probabilidad de a era escoger una moneda justa dado que saque cuatro de seis águilas cuatro de seis águilas en una serie de volados el teorema vice me dice que esto va a ser igual a la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas dado que tengo una moneda justa por la probabilidad de sacar una manera justa / / la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas en general así que bien vamos a sustituir todo lo que hemos encontrado primero que nada cuál es la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas dado que tengo una moneda justa pues la tengo aquí precisamente es 15 entre 64 así que esto va a ser igual a 15 / 64 por la probabilidad de sacar una moneda justa la probabilidad de sacar una moneda justa era precisamente un tercio por un tercio dividido entre la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas en general que la encontramos ahorita y fue 0.24 1965 y cuánto es esto déjenme vuelva a sacar mi calculadora 15 / 64 por un tercio eso lo pude haber hecho a mano pero bueno y voy a dividir entre 0.24 1965 y eso me da 0.32 28 0.32 3 vamos a decir así que esto vale 0.32 3 o lo que es lo mismo el 32.3 por ciento de los casos pero bueno esto es bastante interesante porque la probabilidad de haber elegido una moneda justa era de el de 1 entre 3 que es el 33.3 por ciento así que en el momento en el que yo saco cuatro de seis águilas que son más águilas que soles automáticamente lo que me dice eso es que es más probable que haya sacado la moneda injusta porque la moneda injusta me da mayor posibilidades de sacar un águila y déjenme les doy rápidamente un poco de intuición visual acerca de por qué esto tiene sentido digamos que todo esto de aquí es mi universo de resultados posibles entonces la tercera parte de esto involucra a monedas justas y las dos terceras partes restantes son las monedas e injustas recuerden tenía diez monedas injustas y cinco monedas justas ahora bien nosotros calculamos cuál es la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas dado que estábamos en el universo justo por así decirlo es decir calculamos como esta sección cita de hoy y después calculamos la probabilidad de obtener cuatro de seis águilas dado que teníamos una moneda injusta esto lo hicimos acá y eso sería este cachito de aquí juntos estas dos cosas me darían la probabilidad de sacar cuatro de seis águilas independientemente donde esté parado y lo que el teorema beige me dijo es que este chip o tito de aquí es aproximadamente el 32.3 por ciento de toda esta región que sería la colección de eventos en los que saco cuatro de seis águilas