La regla general de la multiplicación

Cuando calculamos las probabilidades de que ocurra un evento Y luego otro, multiplicamos la probabilidad de que ocurra cada uno.

En algunos casos, que el primer evento ocurra afecta la probabilidad del segundo evento. A estos los llamamos eventos dependientes.

En otros casos, que el primer evento ocurra no afecta la probabilidad del segundo evento. A estos los llamamos eventos independientes.

¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda justa y obtener "águila" dos veces seguidas? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de obtener águila en el primer volado Y águila en el segundo?

Imagina que $100$‍ personas simulan esto y lanzan una moneda dos veces. En promedio, $50$‍ personas obtendrán águila en el primer volado, y luego $25$‍ de ellos sacarán águila otra vez. Así que $25$‍ de las $100$‍ personas del inicio, o $1/4$‍ de ellos, obtendrán dos águilas seguidas.

El número de personas que hay al inicio realmente no importa. Teóricamente, $1/2$‍ del grupo original obtendrá águila, y $1/2$‍ de ese grupo obtendrá otra águila por segunda vez. Para encontrar una fracción de una fracción, multiplicamos.

Podemos representar este concepto con un diagrama de árbol, como se muestra a continuación.

Multiplicamos las probabilidades a lo largo de las ramas para encontrar la probabilidad general de que ocurran un evento Y el siguiente.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener dos "soles" seguidos sería:

Cuando dos eventos son independientes, podemos decir que

Supón que vamos a tirar dos dados justos de $6$‍ caras.

Podemos usar una estrategia similar aun cuando se trate de eventos dependientes.

Considera sacar dos cartas, sin reemplazo, de una baraja de $52$‍ cartas. Eso significa que sacamos la primera, la dejamos a un lado, y luego sacamos otra.

¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas seleccionadas sean negras?

La mitad de las $52$‍ tarjetas son de color negro, por lo que la probabilidad de que la primera carta sea negra es de $26/52$‍. Pero la probabilidad de obtener una tarjeta negra cambia la segunda vez que sacamos la carta, ya que tanto el el número de cartas negras como el número total de cartas ha disminuido en $1$‍.

Aquí está cómo se verían las probabilidades en un diagrama de árbol:

Por lo que la probabilidad de que ambas cartas sean negras es:

En una tabla de $5$‍ estudiantes hay $3$‍ de último grado y $2$‍ de primer ingreso. El profesor va a elegir $2$‍ estudiantes de este grupo aleatoriamente para que presenten las soluciones de una tarea.

La barra vertical en $P(\text{B}|\text{A})$‍ significa "dado", así que esto también podría leerse como "la probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido".

Esta fórmula implica que podemos multiplicar las probabilidades de dos eventos, pero es necesario tener en cuenta el primer evento al considerar la probabilidad del segundo evento.

Si los eventos son independientes, que uno ocurra no impacta la probabilidad del otro y, en ese caso, $P(\text{B}|\text{A})=P(\text{B})$‍.