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Contenido principal

Cálculo del área de regiones circulares (sector circular y segmento circular)

Cálculo del área de regiones circulares (sector circular y segmento circular)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre área de regiones circulares.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver problemas relacionados al cálculo de áreas de regiones circulares (sector circular y segmento circular) en diversos contextos.

Sector circular

Es aquella porción del círculo determinada por un ángulo central, limitada por dos radios y un arco de circunferencia.
sector circular
En la figura, θ es el ángulo central y r el radio correspondiente al sector circular.
Como sabes, θ se puede medir en radianes o en grados sexagesimales. Para cada uno de estos casos, existe una fórmula para obtener el área del sector circular.

Fórmulas para obtener el área de un sector circular

Dependiendo de la unidad de medida de θ utilizaremos la siguientes fórmulas:
  • Cuando θ se mida en radianes:
Área del sector circular=θ2×r2
  • Cuando θ se mida en grados sexagesimales:
Área del sector circular=θ×π360°×r2

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1
En el siguiente gráfico, el radio r de la circunferencia mide 3 cm.
Sector circular
¿Cuál es el área de la región sombreada?
Del gráfico se desprende que el ángulo asociado a la región sombreada es θ=360°120°=240°.
Para obtener el área de la región sombreada, aplicamos la segunda fórmula propuesta, ya que el ángulo central (240°) está expresado en grados sexagesimales.
Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos el área del sector circular (A).
A=θ×π360×r2=240°×π360°×32=6π
Por tanto, el área de la región sombreada es 6π  cm2.
Ejemplo 2
Un sector circular está limitado por el arco AB y los lados del ángulo AOB cuya medida es 2π3 radianes. El radio mide 3 cm.
¿Cuál es el área de la región que encierra el sector circular?
De la información propuesta, se tiene el siguiente gráfico:
sector circular
Como se observa, la medida del ángulo está expresado en radianes, por lo que apicamos la primera fórmula propuesta para obtener el área del sector circular (A)
A=2π3×322=9×π3=3π
Por tanto, el área de la región sombreada es 3π  cm2.

Sectores circulares usuales

Si aplicamos correctamente las fórmulas para la obtención del área de un sector circular, podemos obtener resultados útiles para resolver problemas de forma más simple.

Área del semicírculo

El área del semicírculo equivale a la mitad del área de un círculo. También podemos obtener este resultado considerando como medida del ángulo del sector circular (semicírculo) el valor de π radianes. Así, se obtiene lo siguiente:
semicirculo
En el sector circular mostrado AOB, el ángulo central asociado es de media vuelta o π radianes.
Aplicamos la fórmula respectiva para la obtención del área y se tiene:
Área del semicírculo=π2×r2

Área de la región cuadrantal o cuarta parte del círculo

El área de la región cuadrantal se obtiene cuando la medida del ángulo del sector circular es π2 radianes. Observa:
sector circular
En el sector circular mostrado AOB, el ángulo central asociado es de un cuarto de vuelta o π2 radianes. Ahora, aplicando la fórmula respectiva para la obtención del área se tiene:
Área de la región cuadrantal=π4×r2

Veamos más ejemplos

Ejemplo 3
Se separa una región cuadrantal de un parque circular, cuyo radio es 2 m. Se tiene planeado colocar pasto sintético en toda esa región.
¿Cuál es la cantidad de pasto sintético que se necesita para cubrir la región cuadrantal?
Dado que la región a cubrir con pasto sintético tiene la forma de una región cuadrantal, se aplicará la fórmula para obtener su área (ARC).
ARC=π4×22=π
Por tanto, la cantidad de pasto sintético que se necesita para cubrir la región cuadrantal es de π  m2.
Ejemplo 4
El área que cubre un limpiaparabrisas depende de su longitud y de su ángulo de giro d (en radianes). Observa la siguiente figura:
parabrisa angulo
¿Cuánto mide el ángulo de barrido d del gráfico para que el limpiaparabrisas cubra un área equivalente a 2827.5  cm2?
Luego de revisar el área de un sector circular, podemos obtener el ángulo d, restando el área de los 2 sectores circulares cuyos radios son 34 cm y 5 cm, respectivamente.
Así, formulamos la siguiente ecuación
Área=342×d2d2×52=2827.5578×d12,5×d=5655565.5d=5655d=10
Por tanto, el ángulo de barrido d debe medir 10 radianes para limpiar un área de 2827.5  cm2.

Segmento circular

Es aquella porción del círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente a un ángulo central. Observa la figura:
sector circular
Donde el arco AB corresponde al ángulo α y r es el radio de la circunferencia.
Una estrategia usual para obtener el área del segmento circular se relaciona con la diferencia de áreas.
Área del sector circularABCÁrea delABC
Así, tenemos la fórmula
  • Cuando α se mida en radianes:
Área del segmento circular=αsinα2×r2
  • Cuando α se mida en grados sexagesimales:
Área del segmento circular=(α×π360°sinα2)×r2

Veamos una aplicación

Del siguiente gráfico, ¿cuál es el área que representa al segmento circular?
Gráfico Circular
Ya que la región representa a un segmento circular, se traza OA y OB para formar el sector circular AOB. Observa.
Segmento circular problema
Como la medida del ángulo está expresada en grados sexagesimales, aplicamos la fórmula respectiva.
Área del segmento circular=(30°×π360°sin30°2)×42=4π34=4π123
Por tanto, el área del segmento circular es 4π123  cm2.

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