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Geometría - Preparación Educación Superior

Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 5

Lección 10: Problemas sobre área de regiones circulares

Cálculo del área de regiones circulares (corona circular y trapecio circular)

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Cálculo del área de regiones circulares (corona circular y trapecio circular)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre área de regiones circulares.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver problemas relacionados al cálculo de otras áreas de regiones circulares (corona circular y trapecio circular) en diversos contextos.

Corona circular

Es la porción del círculo limitada por dos circunferencias concéntricas. También se le conoce como anillo circular.

En la figura,

r

R

son los radios de la circunferencia menor y de la circunferencia mayor, respectivamente.

Observa que el área de la corona circular se calcula como la diferencia entre el área del círculo mayor (

A_{mayor}

) y el área del círculo menor (

A_{menor}

). Es decir:

\begin{array}{r} Área de la corona circular = A_{mayor} - A_{menor} \end{array}

Así, se obtiene la fórmula para hallar el área de la corona circular:

\begin{array}{r} Área de la corona circular = π R^{2} - π r^{2} \end{array}

Ejemplo 1

Calcula el área de la corona circular de la siguiente figura:

De acuerdo a la fórmula que acabamos de encontrar y teniendo en cuenta que

r = 2

R = 5

, calculamos el área de la corona circular

(A_{c})

de la siguiente forma:

A_{c} = π \times 5^{2} - π \times 2^{2} \Rightarrow A_{c} = 25 π - 4 π = 21 π

Finalmente, encontramos que el área de la corona circular es:

A_{c} = 21 π

Ejemplo 2

Alberto tiene un engranaje que se acopla a otra pieza. Por estar hecho de un material muy especial, Alberto debe enviar a pulir la superficie gris del engranaje que se observa en la figura:

El precio por el servicio de pulido es de

0.2

dólares por centímetro cuadrado.

¿Cuánto pagará Alberto por el servicio de pulido?

Ya que el área a pulir tiene la forma de una corona circular, podemos calcular su área. Identificamos que

r = 2 cm

R = 3 cm

. Tenemos entonces:

\begin{aligned} A_{c} & = π \times 3^{2} - π \times 2^{2} \\ = 9 π - 4 π = 5 π \end{aligned}

Luego, el área del engranaje que debe pulirse es de

5 π

{cm}^{2}

. Además, como el precio por pulido de cada centímetro cuadrado es

0.2

dólares, calculamos el pago por el servicio de pulido tomando el valor para

π = 3.14

\begin{array}{r} \frac{1 {cm}^{2}}{0.2} = \frac{5 π {cm}^{2}}{x} \Rightarrow x = 3.14 dólares \end{array}

Por tanto, Alberto tendrá que pagar

3.14

dólares por el servicio de pulido de la pieza.

Trapecio circular

El trapecio circular es una porción de la corona circular. En la siguiente figura, observa el trapecio representado por la región de color gris.

Observa que para calcular el área del trapecio circular (

A_{T}

), debemos restar las áreas del sector circular

A O B

(

S_{A O B}

) y del sector circular

C O D

(

S_{C O D}

). Es decir:

\begin{array}{r} A_{T} = S_{A O B} - S_{C O D} \end{array}

Ejemplo 3

Calcula el área del trapecio circular $A C D B$ ‍, en la siguiente figura

Del gráfico se observa que para el sector circular

A O B

el radio es

3 cm

. También se observa que para el sector circular

C O D

el radio es

2 cm

. Para ambos sectores circulares el ángulo central asociado es de

30 °

Recuerda que cuando el ángulo está medido en grados sexagesimales, el área del sector circular se calcula usando la siguiente fórmula:

\begin{array}{r} Área del sector circular = \frac{θ \times π}{360 °} \times r^{2} \end{array}

Así, utilizando esta fórmula para cada uno de los sectores circulares, obtenemos el área del trapecio

A C D B

(

A_{T}

\begin{aligned} A_{T} & = S_{A O B} - S_{C O D} \\ = \frac{π \times 3^{2} \times 30 °}{360 °} - \frac{π \times 2^{2} \times 30 °}{360 °} \\ = \frac{5 π}{12} \end{aligned}

Por tanto, el área del trapecio

(A_{T})

\frac{5 π}{12}

{cm}^{2}

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