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Volumen de un tronco

Aprendamos cómo determinar el volumen de un tronco, con un problema de ejemplo. Utilicemos un enfoque intuitivo para obtener el volumen, sin aplicar directamente la fórmula. Creado por Aanand Srinivas.

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Transcripción del video

si queremos saber la cantidad de agua que llena un contenedor como este y conocemos estos datos cómo podemos encontrar la cantidad que cabe en total preguntarnos por el agua que llena este contenedor es otra forma de preguntar cuál es su volumen de manera particular nos interesa esta forma ya que no es una de las típicas formas que se estudian no es un cono tampoco un cilindro pero si lo piensas bien es algo entre un cono y un cilindro porque baja de esta forma pero no completamente como para crear un cono entonces llamamos a esto un tronco de un cono me gusta pensarlo como una cubeta un vaso o un cono de helado creo que estudiamos esta forma en concreto porque una cubeta es una forma típica y saber qué cantidad de agua cabe en una cubeta algo que de hecho nos puede interesar en el mundo real entonces como la obtenemos bueno tal vez podríamos buscar su fórmula estoy seguro que alguien ya la obtuvo para esta forma en particular en donde se introduce esta longitud esta otra longitud y esta y obtienes el volumen pero si eres como yo y no te acuerdas o no te la sabes o no quieres recordarla entonces la forma de resolver esto es la misma que hemos trabajado en otros problemas darnos cuenta de que esta forma es poco familiar y preguntarnos si podemos representarla como un sólido que nos sea más familiar y en este caso la respuesta es si podemos pensar en un cono más grande del que ha sido cortado un cono más pequeño tenemos una forma que nos es familiar y que sabemos su fórmula si recordamos la fórmula para encontrar el volumen de un cono es un tercio por pi por el radio al cuadrado por la altura así que si calculamos el volumen de este cono grande y le restamos el volumen del cono menor entonces obtendremos el volumen del tronco esta es una estrategia y podríamos hacerlo pero nos faltan datos de algunas longitudes ahora vamos a etiquetar los datos que nos faltan nos hace falta la altura del cono pequeño y la altura del cono grande ahora aunque no nos han dado la información de manera directa nos la han dado de manera indirecta a partir del momento en que nos dieron esta longitud y esta otra y esta altura sólo podemos tener una cubeta con esas dimensiones lo que significa que sólo existe un único cono que la completa pero como encuentro esta altura h1 la idea clave es que necesitamos pensar en este triángulo yo sé que es un cono pero si nos fijamos en una sección transversal tendremos un triángulo aquí también tenemos un triángulo y son triángulos semejantes este ángulo es igual este ángulo es recto este también es un ángulo recto así que podemos aplicar el criterio de semejanza si queremos ser precisos entonces podemos escribir que este lado entre este lado es igual a este lado entre este otro lado buscamos una relación tal que se puede utilizar para obtener una ecuación que conecte mi incógnita h1 con los datos que tenemos así que ahora podemos escribir esta ecuación podemos escribir que h1 / h todos es igual a 6 entre 9 ahora bien por fortuna h 2 no es independiente de h1 h2 es igual a h1 más 4 así que puedo regresar a esta ecuación y escribir en lugar de h 2h 14 y quedarnos con una ecuación de una incógnita que se puede resolver es momento de multiplicar y encontrar la respuesta 9 h 1 es igual a 6 que multiplica a h 14 esto es lo mismo que seis veces h 1 + 6 por 4 que es 24 y ahora podemos restar seis veces h uno de ambos lados y obtenemos que tres veces h uno es igual a 24 y finalmente obtenemos que h1 es igual a 8 centímetros esta es la idea clave ser capaz de visualizar este cono de abajo y usar la semejanza para encontrar esta h1 ahora podemos resolver para h2h 2 es igual a y bueno h 1 es igual a 8 centímetros esta otra altura es 4 centímetros entonces h 2 es igual a 8 + 4 que es 12 centímetros ya hemos hecho todo el trabajo pesado para resolver este problema entonces es momento de calcular el volumen del cono grande que es un tercio por pi por el radio al cuadrado llamaremos a este radio r 2 por r 2 al cuadrado por h 2 ese es el volumen de este cono grande ya esto queremos restarle el volumen del cono pequeño que es un tercio por pi por el radio al cuadrado entonces será por r 1 al cuadrado y esto por h1 puedes darte cuenta de que ahora tenemos todos los datos r2 es un dato y resolvimos a h 2 r 1 es un dato y resolvimos a h1 lo que significa que ahora podemos hacer estos cálculos sin error alguno así que hagámoslo podemos sacar como factor común un tercio por pi y obtenemos que un tercio por pi que lo aproximaremos con 22 séptimos ya esto lo voy a multiplicar por ere 2 que es 9 al cuadrado mejor escribiré 81 y esto lo multiplicamos por h 2 que es 12 así que es 81 por 12 que escribiré con este otro símbolo de multiplicación menos r1 elevado al cuadrado que es lo mismo que 6 elevado al cuadrado que es igual a 36 por h1 que es hoy podemos observar que todos estos son números y el resultado será dado en centímetros cuadrados podemos continuar de hacer estas cuentas y al hacer los cálculos el resultado que obtuve fue de 716 puntos 57 centímetros cúbicos o podemos decir que tenemos 700 16.57 ml ya que un centímetro cúbico es un mililitro o aproximadamente 0.72 litros de hecho es menor que un litro pero cercano a 750 mililitros tal vez no sea una cubeta por el tamaño tal vez sea un vaso grande pero lo que quiero que sepas es que la única forma de que un problema como éste sea difícil es tener números que se vuelvan realmente enredados con algunos decimales o algo así los cálculos que nos quitarán algunos minutos pero puedes darte cuenta que realizar esta parte en una calculadora es muy sencillo por lo que el método a seguir es muy directo calculamos el volumen del cono grande ya eso le quitamos el volumen del cono pequeño para resolver la altura del cono pequeño usamos triángulos semejantes y con esa altura calculamos la altura del cono grande después restamos a ambos volúmenes es un poco extraño cuando tus cálculos se vuelven muy grandes pero no debemos dudar del método que utilizamos solo porque los números son grandes ya que yo dudé un poco al menos cuando intenté resolver este tipo de preguntas creo que esto que construimos es mucho más útil que solo introducir los datos en la fórmula y no proporcionar ninguna intuición