El fractal copo de nieve de Koch

digamos que este de aquí es un triángulo equilátero y lo que quiero hacer es formar otra figura que esté fuera de este triángulo y lo voy a hacer tomando cada uno de estos lados del triángulo y voy a dividirlo en tres secciones iguales ok digamos yo sé que a lo mejor el dibujo puede fallar de hecho quizás o más bien seguramente esto ni siquiera es un triángulo equilátero pero bueno vamos a usar toda nuestra imaginación posible para que se entienda lo que quiero decir entonces ya que tenemos cada lado dividido en tres secciones iguales ahora lo que voy a hacer es colocar un triángulo equilátero en cada uno de estos de estas secciones con esa longitud digamos que digamos aquí está mi primer triángulo equilátero aquí tengo mi segundo triángulo equilátero y aquí tengo mi tercer triángulo equilátero más o menos espero se entienda bien la idea que quiero hacer y no solo voy a hacer eso sino que nuevamente voy a dividir cada uno de estos lados lo voy a dividir en secciones iguales en tres secciones iguales aquí aquí quizás debería corregir un poco mejor el dibujo y corregir un poco ahí está entonces dividimos nuevamente en tres secciones iguales cada uno de estos lados y volvemos a hacer lo mismo en cada uno de estos lados colocó un triángulo equilátero que esté colocado en esa en esa sección muy bien yo sé que esto va a ser un poco tardado pero quiero que se entienda muy bien la idea de qué es lo que estamos haciendo y esto lo hacemos en cada uno de estos lados que ya no me faltan tantos ya no voy a ser tan preciso en la división de los lados pero bueno esta es la idea de cómo ir construyendo el copo de nieve este que de hecho parece más o menos como un copo de nieve y ahora que ya tenemos esta figura podemos volver a utilizar el mismo la misma iteración en cada uno de los lados vamos a poner un triángulo equilátero puesto en el a la mitad digamos de de cada uno de esos lados si dividimos los lados en tres en tres secciones idénticos muy bien entonces uno puede seguir de esta forma una infinidad de veces una infinidad de veces ok y justamente cuando uno lo hace una una infinidad de ocasiones obviamente esto esto no tiene sentido este en la realidad verdad porque no va a ver a alguien ahí haciendo todos estos dibujos por durante toda la eternidad pero si tiene sentido en digamos en términos matemáticos y si uno sigue de esta forma hasta hasta el infinito uno construye una figura que se le conoce como el copo de nieve de cojo lo quizás se diga coche no estoy muy seguro de la pronunciación pero es el copo de nieve voy a pronunciarlo como coach ok y esta figura se debe a este señor que se encuentra aquí este es el huevón con que fue un matemático suizo y que fue de los primeros en construir este tipo de figuras con su copo de nieve que ahora se les conoce con el nombre de fractales aunque este fue uno de los primeros fractales que se construyeron en la historia de la de la humanidad y se les conoce como fractales porque son tienen una propiedad de ser autos similares es decir si uno se fija por ejemplo en esta parte en realidad lo que uno va a ver es esencialmente esta figura no más o menos con sus respectivos triángulos y si uno hace un zoom in digamos si nos acercamos vamos a ver exactamente la misma figura en ese sentido es que es auto similar además digamos la frontera de este de este copo de nieve la curva que rodea al copo de nieve digamos ya que lo hicimos una infinidad de veces es continua es decir no no no pegamos nunca el lápiz pero no puede uno definir una recta tangente en ningún punto es decir si has visto los vídeos de cálculo podemos decir que esta curva no es derivable ni diferenciable en ningún lado y eso es algo muy interesante ahora no sólo eso esta curva es muy muy interesante también porque tiene un perímetro infinito y para mostrarte más o menos eso déjame construir digamos me voy a fijar solo en este lado y entonces tenemos tenemos algo así algo así muy bien aunque de hecho voy a voy a voy a reducirlo primero sólo tenemos un segmento inicial digamos que tiene longitud s y después en la primera iteración de como construimos le colocamos digamos un chipote de forma triangular que lo construimos al dividir el segmento en tres partes iguales verdad éste ahora mide s sobre 3 este mide s sobre 3 y este mide s sobre 3 y este triángulo que le construimos aquí es equilátero entonces cada uno de sus lados mide igual que la base y eso es s sobre 3 y s sobre 3 entonces la longitud de la digamos de esta nueva curva es en realidad esta ya no me interesa si no voy a recorrerla en este sentido y ahora que cuánto mide cuánto mide esta curva que pinte en rosa pues en realidad cada uno de estos lados mide s tercios y ahora tengo 4 entonces son cuatro veces ese entre tres o lo que es lo mismo 4 entre 3 muy bien y eso es válido para él para solo un lado entonces qué es lo que vamos a tener que en nuestro digamos que tenemos un perímetro inicial que sería el del triángulo equilátero y el perímetro en la primera iteración pues va a ser cuatro tercios del perímetro inicial verdad porque si para cada lado tenemos que en la siguiente iteración tenemos cuatro tercios de ese lado pues en total vamos a tener cuatro tercios del perímetro verdad vamos a tener que sumar tres veces esto o qué sé yo luego en la siguiente iteración en la siguiente iteración va a ocurrir exactamente lo mismo por esta propiedad de ser fractal le será auto similar verdad ahora esto va a estar hecho en esta escala digamos para este pedazo y va a ser cuatro tercios de la longitud de este segmento en la siguiente iteración que eso se traduce en perímetro a que sea cuatro tercios del perímetro en el paso 1 entonces si nosotros nos seguimos vamos a tener que el perímetro cuando lo hacemos una infinidad de veces pues en realidad por ejemplo aquí en para el paso 2 tenemos cuatro tercios del perímetro inicial pero el perímetro inicial es cuatro tercios del perímetro no perdón no era el perímetro inicial sino del perímetro al paso 1 y el perímetro al paso 1 es cuatro tercios del perímetro inicial entonces aquí tendremos cuatro tercios de cuatro tercios del perímetro inicial y así vamos a multiplicar cuatro tercios una infinidad de veces pero cuatro tercios es un número más grande que uno y eso se va bola décima de fort muy rápido hacia infinito entonces la longitud de esta digamos de la curva que resulta al aplicar esta iteración de una infinidad de veces su longitud es infinito su longitud perdón es infinita y por sí mismo este resultado ya es genial pero además tiene otra propiedad y que es que la curva tiene un área finita es decir siempre está acotada por alguna región por ejemplo si nos fijamos en este triángulo en el pico de ese triángulo y ponemos una línea digamos que sea paralela a este lado del perímetro del perdón de la curva inicial entonces hacemos exactamente lo mismo para este para este pico también lo mismo para este pico muy bien también para este otro pico para este otro también bueno aquí me falta poner un poco más nos seguimos y para este otro entonces si nos damos cuenta no importa que tantos triangulitos vaya uno colocando en realidad siempre estamos acotados por un hexágono y este hexágono es fijo y el hexágono fijo tiene un área finita no tiene un área infinita o bien también podemos acotar digamos por una circunferencia o bueno un intento de circunferencia más o menos espero se entienda la idea el punto es que nuestro copo de nieve de coj está contenida en una región que es finita es decir tiene un área bien definida muy bien entonces esto en sí mismo ya es sorprendente primero que tiene la propiedad de ser fractal que digamos es auto similar si hacemos un zoom si nos acercamos tanto como queramos vamos a ver esencialmente la misma figura además tiene un perímetro infinito y está contenida en un área finita está acotada y esto a lo mejor tú puedes decir hoy está muy abstracto pero no que a lo mejor no se encuentra en el mundo real pero hay un bonito experimento de la gente que se dedica a este a este mundo de los fractales y es el de calcular digamos el perímetro de la isla de de todo el perímetro de inglaterra digamos que más o menos se ve algo así yo sé que es pero hagas ahora si un muy bonito ejercicio de imaginación y imagínate qué es esto es la isla d de que está es inglaterra digamos ok y bueno vamos a tratar de aproximar digamos el perímetro de esta curva entonces esto puede ser como algo así aproximamos más o menos así no muy bien y más o menos podemos aproximar con segmentos pero tú podrás decir oye esta es una muy mala aproximación qué tal si hacemos un zoom in o un acercamiento de este lado qué tal si hacemos un acercamiento y eso se va a ver más o menos no sé a lo mejor se puede ver como como algo así no en realidad y nosotros lo que hicimos fue aproximar de esta forma así entonces esta no es una buena aproximación una buena aproximación sería irnos recorriendo todos estos lugares hitos ahora bien qué tal si hacemos otra aproximación en este en esta digamos en esta bahía ok entonces a lo mejor la aproximación se va a ver como algo así en realidad se ve de esta forma si aproximamos la bahía y nosotros habíamos hecho nuestra aproximación de esta forma y en realidad una buena aproximación sería irnos de esta forma y esto lo podemos seguir haciendo para la isla de para esta isla o para cualquier continente o lo que tú quieras de forma indefinida bueno quizás hasta que lleguemos a un nivel atómico pero en realidad lo que estamos viendo con este experimento es que la línea costera de un aislado de un continente o de lo que sea es en realidad algo más o menos fractal que tiene algo así como un perímetro infinito y quizás no llegues a un nivel atómico así que no será tal cual un fractal pero es a grandes rasgos el mismo fenómeno y de hecho es muy interesante pensar en todas estas propiedades