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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:48
CCSS.Math:
HSG.GPE.A.2

Transcripción del video

aquí dibujé una parábola en amarillo y como vimos en el vídeo pasado una parábola es el conjunto de puntos que existan de un punto y de una línea que hay que estar a la misma distancia del foco de la parábola que de la directriz de la parábola y lo que quiero hacer en este vídeo es usar esta definición de parábola junto con el hecho de que el foco de la parábola está en el punto a ve y la directriz de la parábola es la recta igual acá vamos a usar estas tres cosas la definición el foco y la directriz para sacar cuál es la ecuación que determina a esta parábola y nos vamos a tener que meter con álgebra y vamos a tener unas cuentas un poco enredadas pero vamos a sacar una ecuación que determine a esta parábola y esa ecuación va a estar dada en términos de a debe y de acá bueno entonces tomemos un punto por aquí con coordenadas x dicha y para que ésta sea una parábola como este punto está en la parábola entonces este punto es equidistante al poco y a la directriz y eso lo único que significa es que la distancia entre este punto y la directriz o sea esta línea de azul por aquí y esta distancia es igual a la distancia entre este punto y el foco de la parábola ok a esta distancia de aquí ahora para sacar la distancia entre este punto y la directriz como este es una recta la distancia que es bueno la longitud más corta entre este punto y esta recta la podemos encontrar con una recta que sea perpendicular perpendicular a la directriz y bueno para encontrar la distancia entre estos dos puntos esta distancia de aquí simplemente tenemos que usar la fórmula de la distancia no que es bueno simplemente el teorema de pitágoras estas dos distancias tienen que ser iguales entonces vamos a describir eso por aquí para calcular esta distancia de aquí realmente solo se involucra la y entonces tenemos aquí la altura que es la h y por aquí tenemos el valor de acá y esta distancia realmente sólo es de menos acá lo que tenemos por aquí y menos acá que es la distancia de este punto a la directriz aunque bueno tenemos que tener un poco más de cuidado aquí aunque hay porque si ye menos que aquí tal cual como lo dibujé con la parábola hacia arriba y la directriz aquí abajo ye menos acá es un valor positivo y todas las distancias tienen que ser positivas sin embargo si lo hubiera dibujado diferente por ejemplo con esta parábola volteada por aquí debajo de la directriz entonces allá menos acá sería negativo pero no podemos tener distancias negativas entonces lo que realmente queremos es el valor absoluto de yemen osca sin embargo el valor absoluto de yemen osca es exactamente igual a tomar menos que elevarlo al cuadrado y luego sacar la raíz cierto bueno y esto de aquí es la distancia de este punto a la directriz y para que este punto el punto x esté en la parábola necesitamos que esa distancia sea igual a la distancia de ese punto al foco ok porque esa es la definición de las parábolas entonces esta distancia tiene que ser igual a la distancia entre estos dos puntos y para sacar la distancia entre estos dos puntos podemos simplemente usar la fórmula de la distancia que es el teorema de pitágoras aunque entonces aquí te puedes imaginar el triángulo rectángulo vemos que tan separados están en la coordenada x o sea x menos x menos a y lo elevamos al cuadrado nadas qué tan lejos están en el eje de las es o sea se me ve que menos ve elevado al cuadrado y sacamos la raíz de todo esto y esa es la distancia entre estos dos puntos que es esta distancia de aquí listo ya tenemos la ecuación de la parábola ok esto de aquí aunque se ve muy enredos o es la ecuación de la parábola lo único que necesitamos hacer para poder reconocerlo es simplificar la y eso es lo que vamos a hacer ahorita pero si te sientes muy inspirado adelante simplifica la por tu cuenta que realmente es nada más álgebra enredosa y listo vas a reconocer la ecuación de la parábola en términos de este foco que es un poco muy general esta directriz que es una directriz bastante general aunque hay listos vamos a simplificar la por aquí tenemos dos raíces cuadradas entonces lo primero que se me ocurre es elevar a ambos lados del igual al cuadrado así es que aquí lo que nos queda es que menos acá al cuadrado igual a x menos a al cuadrado x menos a al cuadrado más que menos ve al cuadrado y menos al cuadrado ahora lo que nos gustaría es que del lado izquierdo del igual sólo tuviéramos un ancho y del lado derecho del igual tuviéramos x as veces y casi y ni una sola y entonces lo que tenemos que hacer es desarrollar todos los binomios que tienen una y así es que vamos a empezar por aquí tenemos ya menos acá al cuadrado y si lo desarrollamos ye cuadrado menos 2 y k más cara cuadrada y eso es igual vamos a dejar este término que tiene puras x días y que está muy bien de este lado del igual vamos a dejarlo sin desarrollar aunque vamos a dejarlo como x menos a al cuadrado y este término de aquí tiene un ayer por lo cual si queremos expandirlo entonces tenemos más de cuadrada menos 2 de jay más de cuadrada ok lo único que hice fue multiplicar yemen b por jay menos 20 gay y así lo desarrollamos ahora tenemos una cuadrada de los dos lados del igual entonces podemos simplemente restar la y se cancelan ahora aquí tenemos este k cuadrado que nos gustaría que estuviera del lado derecho entonces lo que vamos a hacer es sumar de los dos lados del igual - que cuadrada aunque si sumamos del lado izquierdo tenemos que sumar del lado derecho y este se cancela con este y por aquí nos queda menos que cuadrada y también queremos que todas las leyes estén del lado izquierdo entonces vamos a sumar por aquí más 2 de que todos ve que éste se cancela con este y bueno voy a seguir las ecuaciones de este lado que tenemos menos 2 dos veces y podemos factorizar un 12 entonces nos quedan dos por b - k b - acá porque aunque estos dos de aquí son los que estoy poniendo en amarillo y esto es igual a x menos a al cuadrado x menos a al cuadrado más b cuadrada menos que cuadrada ok más de cuadrada menos cada cuadrado ahora la verdad es que nos gustaría que de este lado se estuviera simplemente una y entonces lo que vamos a hacer es dividir todo entre 2 por b menos acá aunque entonces estas dos se eliminan nos queda simplemente y ok por aquí también dividimos entre 2 por b menos acá y bueno de hecho voy a poner por aquí estos dos entre 2 por b - acá entonces esto se elimina con esto y nos queda simplemente un h igual 1 / 2 x b - k y bueno este paréntesis de aquí de menos acá es tal cual la distancia entre el poco y la directriz pero bueno esto está multiplicando a x menos a al cuadrado y bueno si supiéramos cuál es el poco y cuál es la directriz si supiéramos qué números son a b y acá entonces esto de aquí de menos acá sería un número fijo y por lo tanto todo esto de aquí sería simplemente un número y ya que opine o se empieza a aparecer a la ecuación de una parábola a eso todavía nos falta sumarle este término de aquí que también se simplificaría a un simple número pero además no te parece conocido este término ve aquí este término lo podemos escribir como b más acá por b menos acá y entonces se cancela este paréntesis con este otro y nos queda simplemente b más acá b y que no se nos olvide este medio por aquí y medio y listo ya tenemos aquí la ecuación de la parábola estuve aquí esta es la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto ave y cuya directriz es la recta ye igual acá esta es la ecuación ahora como usamos un poco y una directriz muy general entonces podemos usar esta ecuación como una fórmula que por ejemplo qué pasaría si tenemos una parábola cuyo foco es el punto 12 y cuya directriz es la recta de igual digamos que a menos 1 entonces cuál es la ecuación de la parábola con este foco y esta directriz pues lo único que tenemos que hacer es sustituir estos valores en la fórmula aunque tenemos que la ecuación de esta parábola es igual a 1 entre 2 ve - k 2 y k es menos 1 así es que tenemos dos menos menos 1 y 2 - menos 1 estrés o sea que tenemos aquí dos por tres voy a borrar esto y luego tenemos que multiplicar por x menos o sea x menos 1 al cuadrado más un medio un medio debe más que sea 2 más menos 1 y 2 más menos 1 es simplemente un 1 la ecuación de esa parábola es igual a 1 entre 6 x x menos 1 al cuadrado más un medio y listo esta es la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto 12 y cuya directriz es la recta ye igual a menos 1 y listo